数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 恒等式 / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ1 を表示中)

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■1775 / inTopicNo.1)

　恒等式

▼■

□投稿者/ スマッシュ一般人(8回)-(2005/07/10(Sun) 12:38:43)

整式f(x)は、全ての実数にたいして、
(t+1)f(t+1)-(t-1)f(t-1)=t^2+t+1
を満たすとする。このとき、整式f(x)の次数nはn=□であり。またf(0)=□でる。
→全く分かりません。お願いします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■1776 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 恒等式

▲▼■

□投稿者/ あとむ付き人(57回)-(2005/07/10(Sun) 13:19:16)

右辺は2次式であるから左辺も2次式でないと等式は成り立たない。
このことから(t+1)f(t+1),(t-1)f(t-1)のいずれも2次式であることがわかる。
したがってf(t+1),f(t-1)は1(=2-1)次式であるからn=1

t=-1を代入したとき
-2f(-2)=0
⇔f(-2)=0
t=1を代入したとき
2f(2)=4
⇔f(2)=2

f(x)は1次式であるからy=f(x)は直線であり
直線y=f(x)は(-2,0),(2,2)を通るから
f(x)=x/2+1
f(0)=1

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■1795 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 恒等式

▲▼■

□投稿者/ NoName 一般人(4回)-(2005/07/10(Sun) 20:39:43)

■No1776に返信(あとむさんの記事)
> 右辺は2次式であるから左辺も2次式でないと等式は成り立たない。
> このことから(t+1)f(t+1),(t-1)f(t-1)のいずれも2次式であることがわかる。
> したがってf(t+1),f(t-1)は1(=2-1)次式であるからn=1

少し議論が乱暴です。もう少し式を整理してみると
　(t+1)f(t+1)-(t-1)f(t-1)
　= t(f(t+1) - f(t-1)) + (f(t+1) - f(t-1))
が 2 次式であるためには f(t+1) - f(t-1) が 1 次式であることが必要なことがわかります。
しかし、ここから f(x) が二次式であると結論付けることは出来ません。たとえば仮に f(x) = x^2 であったとすると
　f(t+1) - f(t-1) = (t+1)^2 - (t-1)^2 = 4t
となり、差を取ることで次数が落ちてしまうこともあるからです.

この場合は、f(x) = ax^n + b^(n-1)+ … のようにおいて代入しておき、最初は最高次の係数のみ比べる。それで次数や係数が決まらなければもう少し下のほうの項を考慮する、といった手順が必要だと思われます（確認していません）。おそらく、あとむさんのお答えのほかに f(x) が二次式になるような解答も出てくると思います。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ

過去ログには書き込み不可

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター