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■17671 / inTopicNo.1)

　積分について

□投稿者/ digi 一般人(34回)-(2006/09/30(Sat) 00:49:03)

2つ質問があります。
(1)関数f(x)を積分して微分すると、f(x)に戻りますよね？でも逆に、微分して積分すると、必ずf(x)に戻るとは限らないのでは？部分積分の公式は、積の導関数の公式を積分して得られますが、必ず成り立ちますか？

(2)例えば、 $2$f(x)=\frac{1}{2x}$ とすると、
$2$\displaystyle\int f(x)dx =\frac{1}{2} \displaystyle\int \frac{1}{x}dx =\frac{1}{2}\log {|x|}+\frac{1}{2}C$
　定数を前に出して積分すれば、積分定数はインテグラルの中で発生するので、この場合、C/2となり、
『C/2を改めてCとする』
等と書いて、積分定数をCとするのが正しいやり方だと思いますが、みなさんはどうやってやっていますか？私もそうですが、積分定数は最初からCと書く人が多いような気がします。やはり、積分定数は上記のように扱うべきでしょうか？微分方程式を習うときには積分定数が重要になってくると聞いていますが、どうでしょうか？
　少し関係ありませんが、この場合f(x)を積分すれば、
$2$\displaystyle\int f(x)dx=\frac{1}{2}\log {|x|}$ とも、 $2$\frac{1}{2}\log {|2x|}$ ともなりますよね？どちらも正解ですよね？（積分定数は省略）

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■17672 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 積分について

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□投稿者/ 白拓大御所(491回)-(2006/09/30(Sat) 07:50:39)

2006/09/30(Sat) 22:53:35 編集(投稿者)

> 　定数を前に出して積分すれば、積分定数はインテグラルの中で発生するので、この場合、C/2となり、
> 『C/2を改めてCとする』
> 等と書いて、積分定数をCとするのが正しいやり方だと思いますが
正しいやり方はそれだけではありません。積分定数を2Cとすれば、
2C/2=Cとなり、Cと書いて正しいことになります。

> 　少し関係ありませんが、この場合f(x)を積分すれば、
> $2$\displaystyle\int f(x)dx=\frac{1}{2}\log {|x|}$ とも、 $2$\frac{1}{2}\log {|2x|}$ ともなりますよね？どちらも正解ですよね？（積分定数は省略）
そうですね。
(1/2)log|2x|+C=(1/2)log|x|+{(log2)/2+C}=(1/2)log|x|+C'
なのでどちらでもいいです。答案にはなるべく簡単にした方がいいので、
(1/2)log|x|+Cと書きましょう。

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■17679 / inTopicNo.3)

　Re[1]

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□投稿者/ soredeha 一般人(46回)-(2006/09/30(Sat) 21:04:35)

＞(1)微分して積分すると、必ずf(x)に戻るとは限らないのでは？部分積分の公式は、積の導関数の公式を積分して得られますが、必ず成り立ちますか？

{f(x)g(x)}'＝f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)　　より
f(x)g'(x)＝{f(x)g(x)}'-f'(x)g(x)
積分すると
∫f(x)g'(x)dx＝∫{f(x)g(x)}'dx-∫f'(x)g(x)dx
　　　　　　　＝f(x)g(x)＋C -∫f'(x)g(x)dx
積分定数は、∫f'(x)g(x)dx　からも出てくるので
今あるC　は省略してよいから
∫f(x)g'(x)dx＝f(x)g(x) -∫f'(x)g(x)dx

　　　　　　

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■17687 / inTopicNo.4)

　Re[2]: ]

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□投稿者/ digi 一般人(35回)-(2006/09/30(Sat) 23:44:22)

>積分定数を2Cとすれば、2C/2=Cとなり、Cと書いて正しいことになります。
積分し終わったすぐは積分定数はCでなくてもいいのですか？最終的にはCとするべきですよね？

>積分定数は、∫f'(x)g(x)dx　からも出てくるので
>今あるC　は省略してよいから
>∫f(x)g'(x)dx＝f(x)g(x) -∫f'(x)g(x)dx
∫{f(x)g(x)}'dxから出てくる積分定数と∫f'(x)g(x)dxから出てくる積分定数は同じなのですか？

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■17688 / inTopicNo.5)

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□投稿者/ soredeha 一般人(47回)-(2006/10/01(Sun) 01:05:48)

2006/10/01(Sun) 01:11:28 編集(投稿者)

>∫{f(x)g(x)}'dxから出てくる積分定数と∫f'(x)g(x)dxから出てくる積分定数は同じなのですか？

{f(x)g(x)}'＝f'(x)g(x)＋f(x)g'(x)　　より
f(x)g'(x)＝{f(x)g(x)}'-f'(x)g(x)
積分すると
∫f(x)g'(x)dx＝∫{f(x)g(x)}'dx-∫f'(x)g(x)dx
　　　　　　　＝{f(x)g(x)＋C1} - {G(x)＋C2}　　(G '(x)＝f'(x)g(x) )
　　　　　　　＝f(x)g(x) - {G(x)＋C2 - C1}
　　　　　　　＝f(x)g(x) - {G(x)＋C}　　　　　( C＝C2 - C1 )
　　　　　　　＝f(x)g(x) - ∫f'(x)g(x)dx

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■17692 / inTopicNo.6)

　Re[3]: ]

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□投稿者/ 白拓大御所(492回)-(2006/10/01(Sun) 02:07:08)

> 積分し終わったすぐは積分定数はCでなくてもいいのですか？
Cでなくてもいいです。
>最終的にはCとするべきですよね？
特に決まりはありませんが、普通はCと書きますね。
constant(一定)の略です。

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■17699 / inTopicNo.7)

　Re[4]: ]

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□投稿者/ digi 一般人(36回)-(2006/10/01(Sun) 02:40:39)

わかりました。ありがとうございました！

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