 | 2006/09/21(Thu) 18:50:07 編集(投稿者)
■No17506に返信(冴木さんの記事)
> 数列{a[n]}はa[1]=a,a[n+1]-1=a[n](a[n]-1) (n≧1)によって定義されている。
> a＞1のとき,次の問いに答えよ。
> (1)a[n]≦a[n+1](n≧1)およびlim[n→∞]a[n]=+∞であることを証明せよ。
> (2)Σ[n=1→∞]1/a[n]を求めよ。
(1) まず数学的帰納法により，n≧1 に対し a[n]>1 が成り立つことを示しましょう。
それがいえると，a[n+1]-1=a[n](a[n]-1)>1*(a[n]-1) より a[n+1]>a[n] が示せます。
この不等式から，全ての n に対して a[n]>a[1]=a が成り立つことがわかります。
漸化式を (a[n+1]-1)/(a[n]-1)=a[n] と変形すると，(a[n+1]-1)>a(a[n]-1) が得られ，これより a[n]-1>a^(n-1)*(a-1) となります。これから lim[n→∞]a[n]=+∞ を導けます。
(2) 漸化式を変形し，部分分数分解すると  となります。
よって，
=%5cfrac{1}{a_1-1}-%5cfrac{1}{a_{n+1}-1}.
)
(1) の結果から，
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