数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: いろいろですがお願いします / Page: 0]

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■17505 / inTopicNo.1)

　いろいろですがお願いします

□投稿者/ がっこん一般人(1回)-(2006/09/21(Thu) 18:23:19)

a,bをa<bかつ互いに素な自然数、また $2$d_i$ (i=1,2,3・・・）を0≦d(i)≦9となるような整数とする。いま分数a/bの小数表示が
$2$a/b=0.d_1d_2d_3\cdot\cdot\cdot{d_i}$ と表示されるとして任意のiに対して $2$d_i=d_{i+1}$ を満たす自然数 $2$l$ が存在する時、この小数a/bを「循環節の長さが $2$l$ の純循環小数」と定義し、 $2$a/b=0.d_1d_2d_3\cdot\cdot\cdot{d_i}$
(ここで $2$d_1$ と $2$d_l$ の上にドットを打ってください）と表記する。( $2$l=1$ のときは $2$0.d_l$ の上にドット）。ここに循環節とは上記の $2$l$ に対し $2$d_1$ から $2$d_l$ までの数字を順に書き下して得られる配列のことである。
(1)a/bが純循環小数であるための必要十分条件は「ｂが2および5を素因数に含まない」であることを証明せよ

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■17508 / inTopicNo.2)

　Re[1]: いろいろですがお願いします

▲▼■

□投稿者/ KINO 軍団(109回)-(2006/09/21(Thu) 18:32:19)

■No17505に返信(がっこんさんの記事)
> a,bをa<bかつ互いに素な自然数、また $2$d_i$ (i=1,2,3・・・）を0≦d(i)≦9となるような整数とする。いま分数a/bの小数表示が
> $2$a/b=0.d_1d_2d_3\cdot\cdot\cdot{d_i}$ と表示されるとして任意のiに対して $2$d_i=d_{i+1}$ を満たす自然数 $2$l$ が存在する時、この小数a/bを「循環節の長さが $2$l$ の純循環小数」と定義し、 $2$a/b=0.d_1d_2d_3\cdot\cdot\cdot{d_i}$
> (ここで $2$d_1$ と $2$d_l$ の上にドットを打ってください）と表記する。( $2$l=1$ のときは $2$0.d_l$ の上にドット）。ここに循環節とは上記の $2$l$ に対し $2$d_1$ から $2$d_l$ までの数字を順に書き下して得られる配列のことである。
> (1)a/bが純循環小数であるための必要十分条件は「ｂが2および5を素因数に含まない」であることを証明せよ
>

a/b が純循環小数であるとき，その循環節の長さを $2$\ell$ とおくと，
$2$10^{\ell}\cdot\frac{a}{b}-\frac{a}{b}=\frac{(10^{\ell}-1)a}{b}=[q_1 q_2 \cdots q_\ell]$ となります。
ここで， $2$[q_1 q_2 \cdots q_\ell]$ は十進表記による数のつもりで，これは整数です。a と b は互いに素なので，b は $2$10^{\ell}-1$ の約数でなければなりません。
$2$10^{\ell}-1$ は素因数に 2 および 5 を含まないので，その約数である b も同じ性質を持ちます。

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