数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[14]: 2変数の極限値 / Page: 0]

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■17474 / inTopicNo.1)

　2変数の極限値

□投稿者/ digi 一般人(19回)-(2006/09/19(Tue) 22:44:31)

　前にも同じようなことを質問させてもらったのですが、もう一度お願いします。
問題　 $2$\lim_{(x, y)\rightarrow (0, 0)} \frac{x-y}{x^2+y^2}$

　これを極座標で解くと、 $2$\lim_{r\rightarrow 0} \frac{\cos {\theta}-\sin {\theta}}{r}$
となると思いますが、このあと「極限値無しでいいでしょうか」？

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■17475 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 2変数の極限値

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□投稿者/ KINO 軍団(104回)-(2006/09/19(Tue) 23:26:05)

例えば「θ=0 のとき，極限値は存在しない」などと一言添えるのが妥当だと思います。

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■17476 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 2変数の極限値

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□投稿者/ digi 一般人(20回)-(2006/09/20(Wed) 01:56:49)

■No17475に返信(KINOさんの記事)
> 例えば「θ=0 のとき，極限値は存在しない」などと一言添えるのが妥当だと思います。

どうして、θ=0のときなのですか？他のときでも存在しないことはあるのでは？

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■17477 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 2変数の極限値

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□投稿者/ KINO 軍団(105回)-(2006/09/20(Wed) 02:44:10)

■No17476に返信(digiさんの記事)
> どうして、θ=0のときなのですか？他のときでも存在しないことはあるのでは？
おっしゃる通りです。ですから「例えば」と文頭に断り書きを入れました。
要は「収束しないようなθの値の具体例を提示した方がよい」ということです。
そうした方が説得力が増すと思います。

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■17486 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 2変数の極限値

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□投稿者/ digi 一般人(22回)-(2006/09/20(Wed) 17:15:22)

では、「θ=π/4、3π/4のときは、分子が0となるから、このときは0に収束する。
θ≠π/4、3π/4のときは、∞または-∞に発散する。
よって、θの値によってさまざまな値をとるので極限値はなし。」

こんな感じでいいでしょうか？

あと、問題で『極限値を求めよ』というのと、『極限を求めよ』というのでは答え方が変わってきますよね？

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■17490 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 2変数の極限値

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□投稿者/ KINO 軍団(106回)-(2006/09/20(Wed) 19:23:06)

■No17486に返信(digiさんの記事)
> こんな感じでいいでしょうか？

いいと思います。

> あと、問題で『極限値を求めよ』というのと、『極限を求めよ』というのでは答え方が変わってきますよね？

「極限を求めよ」というのは「極限値を求めよ」ということと同じ意味でしょうから，答え方が変わるとは思いません。

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■17494 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 2変数の極限値

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□投稿者/ digi 一般人(23回)-(2006/09/20(Wed) 23:47:20)

例えば、ある数列が極限をとると無限大に発散するとき、
『極限を求めよ』という場合は、+∞
『極限値を求めよ』という場合は、極限値無し
というようになるような気がするのですが？

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■17502 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 2変数の極限値

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□投稿者/ KINO 軍団(108回)-(2006/09/21(Thu) 01:22:13)

■No17494に返信(digiさんの記事)
「極限」と「極限値」は通常同じ意味で用います。つまり，数列が収束していく数値を指します。
ですから，「極限が +∞ である」という表現が許される状況ならば「極限値は +∞ である」という言い方も可能なはずです。

また，「極限を求めよ」という文章中の「極限」の意味が極限値のことでなければ，「極限は +∞ である」という文章の正確な意味は何なのでしょうか。

なお，「極限は +∞ である」という表現はたまに使ってしまいますが，これは非公式なもので，試験などでこのような言い回しを用いると減点は免れないと思います。正式には「+∞ に発散する」というべきでしょう。

# もちろん，±∞ を実数に付け加えたものを取り扱う立場もありますが，
# それはこの話とは別物だと思います。ですが，念のためそのような
# 取り扱いがあるということだけ書き添えておきます。

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■17504 / inTopicNo.9)

　Re[8]: 2変数の極限値

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□投稿者/ digi 一般人(25回)-(2006/09/21(Thu) 15:55:05)

わかりました。

もうひとつよろしいでしょうか。
$2$\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x+y}{x-y}$
で、y=mxにそって(0,0)に近づけると考えると、
（与式） $2$=\frac{1+m}{1-m}$ となりますよね。
ここで、答えには「m=1のときは極限値は存在しない」と書かれています。
でも、m≠1でも極限値はないのでは？

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■17511 / inTopicNo.10)

　Re[9]: 2変数の極限値

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□投稿者/ KINO 軍団(112回)-(2006/09/21(Thu) 19:01:19)

■No17504に返信(digiさんの記事)
> $2$\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x+y}{x-y}$
> で、y=mxにそって(0,0)に近づけると考えると、
> （与式） $2$=\frac{1+m}{1-m}$ となりますよね。
> ここで、答えには「m=1のときは極限値は存在しない」と書かれています。
> でも、m≠1でも極限値はないのでは？

「m=1のときは極限値は存在しない」や「m≠1でも極限値はない」と述べるとき，
「(x,y) をどのように (0,0) に近づける極限を考えているのか」をはっきりさせていないことが混乱のもとではないでしょうか。

そこのところをはっきりさせて述べれば次のようになります：
$2$\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x+y}{x-y}$ の極限値は存在しません。
一方，m≠1 のとき，
$2$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x+mx}{x-mx}$ の極限値は存在して，それは $2$\frac{1+m}{1-m}$ です。

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■17536 / inTopicNo.11)

　Re[10]: 2変数の極限値

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□投稿者/ digi 一般人(26回)-(2006/09/22(Fri) 16:52:38)

limが外れれば極限値があるということですか？mが変数なら(m+1)/(m-1)はひとつに定まらないのでは？もう少し解説していただけますか？

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■17537 / inTopicNo.12)

　Re[11]: 2変数の極限値

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□投稿者/ KINO 軍団(114回)-(2006/09/22(Fri) 20:40:21)

■No17536に返信(digiさんの記事)
> limが外れれば極限値があるということですか？mが変数なら(m+1)/(m-1)はひとつに定まらないのでは？もう少し解説していただけますか？

「limが外れれば」とはどういう意味でしょうか？

m は任意に変えることが出来ますが，「直線 y=mx に沿って (x,y) を (0,0) に近づける」という極限を考えるときには，m は固定して考えます。
この固定された m の各値につき， $2$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x+mx}{x-mx}=\frac{1+m}{1-m}$ が成り立ちます。
m の値を変えて別の直線に沿って極限をとれば，この極限値は m の関数なので極限値の値も変わります。そういう意味でなら「m は変数」と言えます。

前レスに書いたことのほぼ繰り返しになりますが，

単純に (x,y)→(0,0) とする極限の取り方 $2$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$

と

y=mx という直線に沿って (x,y)→(0,0) とする特殊な極限の取り方 $2$\lim_{x\to 0}f(x,mx)$

をはっきり区別して下さい。
これらの極限の取り方には関係がありますが，同じ操作ではありません。
そして今考えている例では， $2$f(x,y)=\frac{x+y}{x-y}$ であり，
各 m につき， $2$\lim_{x\to 0}f(x,mx)=\frac{1+m}{1-m}$ なので，y=mx に沿って原点に近づく極限において極限値が存在するが，この極限値は m によって異なるので， $2$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$ は存在しない，ということになります。

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■17552 / inTopicNo.13)

　Re[12]: 2変数の極限値

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□投稿者/ digi 一般人(27回)-(2006/09/23(Sat) 00:50:49)

y=mxや極座標で考える場合は1つの近づき方について考えているということですか？いろいろな近づき方の中で、そのひとつを考えたときに(m+1)/(m-1)はm≠1で存在する。しかし、f(x,y)の極限値を考えるときははいろいろな近づき方を考えなければならず、この場合はmがいろいろな値をとるので、f(x,y)の極限値は存在しない。
　ということでしょうか？

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■17555 / inTopicNo.14)

　Re[13]: 2変数の極限値

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□投稿者/ KINO 軍団(116回)-(2006/09/23(Sat) 01:28:12)

■No17552に返信(digiさんの記事)
> y=mxや極座標で考える場合は1つの近づき方について考えているということですか？

そうです。

> いろいろな近づき方の中で、そのひとつを考えたときに(m+1)/(m-1)はm≠1で存在する。
> しかし、f(x,y)の極限値を考えるときははいろいろな近づき方を考えなければならず、この場合はmがいろいろな値をとるので、f(x,y)の極限値は存在しない。
> 　ということでしょうか？

ほぼその通りですが，より正確には

(x,y) が (0,0) に近づく『あらゆる』極限の取り方に対し，f(x,y) が同一の値に収束するとき，f(x,y) は (x,y)→(0,0) の極限において収束する」ということです。
そして，(x,y) が (0,0) に近づく特殊な場合である『直線 y=mx に沿った』極限において，極限値が m によって変わるならば，「同一の値に収束する」ことに反するので，この問題では f(x,y) は (x,y)→(0,0) の極限において発散する（収束しない，極限値なし）ことが結論されます。

なお，以前のやり取り
http://www.crossroad.jp/cgi-bin/bbs/mathbbs/cbbs.cgi?mode=al2&namber=16736&no=0
の中にもほぼ同趣旨のことを書いてありますので，そちらもご確認下さい。

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■17589 / inTopicNo.15)

　Re[14]: 2変数の極限値

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□投稿者/ digi 一般人(28回)-(2006/09/24(Sun) 23:25:48)

分かりました。どうもありがとうございます！

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