 | 2006/09/19(Tue) 15:13:03 編集(投稿者)
■No17461に返信(fuyukinさんの記事)
> １)⊿ＡＢＣにおいて、辺ＡＢを2：1の比に内分する点をＰとし、辺ＡＣの中点をＱ，辺ＢＱの中点をＲとすると、３点ＰＲＣは１直線上にあることを示せ。
↑PC=↑AC-↑AP=↑AC-2/3↑AB で
↑PR=↑AR-↑AP=(↑AB+↑AQ)/2-↑AP=-1/6↑AB+1/4↑AC=1/4↑PC より
３点ＰＲＣは１直線上にある。
> 2)⊿ＡＢＣにおいて、辺3：2の比に内分する点をＤ、辺ＡＣを2：1の比に内分する点をＥとし、線分ＣＤ，ＢＥの交点をＰとする。↑ＡＢ＝↑ａ,↑AC＝↑bとおくとき、↑ＡＰを↑ａ，↑ｂで表せ。
メネラウスの定理より3/2・BP/PE・1/3=1 よって BP:PE=2:1
↑AP=(↑AB+2↑AE)/3=(↑AB+2・2/3↑AC)/3=1/3↑AB+4/9↑AC。
> 3)↑a=(2,1,-1)↑b=(8,√3+1,√3-1)↑c=(3,3,1) また↑ａと↑ｂの作る角３０度のとき(０°＜＝Θ＜＝180°のときで)
> ↑aと↑cに垂直な単位ベクトル↑ｖを求めよ。
↑u=(x,y,z)とおくと、↑a・↑u=↑b・↑u=0 のとき 2x+y-z=0, 3x+3y+z=0 よって y=-5x/4, z=3x/4
すなわち ↑u=(x,-5x/4,3x/4)=x/4・(4,-5,3) であらためて ↑u=(4,-5,3)とおくと
|↑u|=5√2 より ↑v=±↑u/|↑u|=±1/5√2・(4,-5,3)。
↑bは不要です。
> 4)３点Ａ（1,2,3）Ｂ（-1,0,3）Ｃ（1,2,-3）を頂点とする⊿ＡＢＣの面積を求めよ.
↑AB=(-2,-2,0),|↑AB|=2√2、↑AC=(0,0,-6),|↑AC|=√6
↑AB・↑AC=0 より ABとACは垂直
よって△ABCの面積は 1/2・2√2・√6=2√3。
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