 | 2006/09/11(Mon) 21:55:51 編集(投稿者)
■No17284に返信(瑠衣さんの記事)
> なぜそのようになるのですか？
> グラフが書けないのですが・・・
y=logx のグラフは、y=log[2]x のグラフ（数Ⅱ）とほぼ同じ形です。ｙ軸が漸近線で、点(1,0)を通ります。
点(1,0)より左(0＜x＜1)ではグラフはｘ軸の下に、(1,0)の右(x＞1)ではｘ軸の上にあります。
よって、積分範囲にx=1が含まれると、１までの左部分の積分と1からの右部分の積分に分けることになります。
積分範囲が t から t+1 までなので、t≧1 であればそのまま積分できます。
しかし t＜1 だと t と t+1 の間に 1 がありますので、積分が２つに分かれます。
logx の積分は No17282 の最後にあります。部分積分法なので数Ⅲの範囲です。
> ∫ logx dx = ∫ 1・logx dx = x logx - ∫x・1/x dx = x logx - x + C より
> ∫ [α→β] logx dx = [x logx - x][α→β] で計算できます。
i) 0＜t＜1 のとき
S(t)=∫[t→1](-logx)dx + ∫[1→t+1] logx dx = [-x logx + x][t→1] + [x logx - x][1→t+1]
= 1 - (-tlogt + t) + {(t+1)log(t+1) - (t+1)} - (-1)
= (t+1)log(t+1) + tlogt - 2t +1
ii) 1≦t のとき
S(t)=∫[t→t+1] logx dx = [x logx - x][t→t+1]
={(t+1)log(t+1) - (t+1)} - (tlogt - t)
=(t+1)log(t+1) - tlogt -1
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