 | ■No17199に返信(khoさんの記事)
> 「aを2以上の整数とするとき、sin(aθ)cosθ=0をみたすθが13個存在するときの最大のaの値を求めよ。」
>
> という問題ですけど、”最大のaの値”という言葉にひっかり、解答の道筋が見出せません。sin(aθ)=0またはcosθ=0の場合にわけるところまでは、考えついたのですが、その後がつづきません。どなたかご指導ください。
θの範囲は大事なのですが，0≦θ＜2πでいいのでしょうか。
まず sin(aθ)=0 となるθの値は，0≦aθ＜2aπの範囲より aθ=nπ，n=0, 1, 2, ..., 2a-1 です。書き換えれば，θ=nπ/a，n=0, 1, 2, ..., 2a-1 で，このようなθの値は 2a 個あります。
一方，cosθ=0 となるのは θ=π/2，3π/2 のふたつだけです。
これらのθの値に共通のものがあるかどうかで場合分けします。
(1) 一つも共通のものがない場合。
解θの個数は 2a+2=2(a+1) 個と偶数になるので，これが 13 になることはないのでこの場合は却下。
(2) 一つだけ共通のものがある場合。
解θの個数は 2a+2-1=2a+1 個で，これが 13 に等しいためには a=6 でなければなりません。そうすると，sin(aθ)=0 となるのは
θ=0, π/6, 2π/6, 3π/6, 4π/6, 5π/6, 6π/6, 7π/6, 8π/6, 9π/6, ... ですが，3π/6=π/2，9π/6=3π/2 で，これらは cosθ=0 となるθとかぶっています。
一つだけ共通のものがある場合について考えていたのに，これは矛盾です。よってこれも却下。
(3) ふたつ共通のものがある場合。
解の個数は 2a+2-2=2a 個で，これは偶数なのでまたもや不適。
結論は，θの範囲がわからないとできない，ということになります。
ただし，考え方としては上記のようなものになると思われます。
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