| ■No17199に返信(khoさんの記事) > 「aを2以上の整数とするとき、sin(aθ)cosθ=0をみたすθが13個存在するときの最大のaの値を求めよ。」 > > という問題ですけど、”最大のaの値”という言葉にひっかり、解答の道筋が見出せません。sin(aθ)=0またはcosθ=0の場合にわけるところまでは、考えついたのですが、その後がつづきません。どなたかご指導ください。
θの範囲は大事なのですが,0≦θ<2πでいいのでしょうか。 まず sin(aθ)=0 となるθの値は,0≦aθ<2aπの範囲より aθ=nπ,n=0, 1, 2, ..., 2a-1 です。書き換えれば,θ=nπ/a,n=0, 1, 2, ..., 2a-1 で,このようなθの値は 2a 個あります。 一方,cosθ=0 となるのは θ=π/2,3π/2 のふたつだけです。 これらのθの値に共通のものがあるかどうかで場合分けします。 (1) 一つも共通のものがない場合。 解θの個数は 2a+2=2(a+1) 個と偶数になるので,これが 13 になることはないのでこの場合は却下。 (2) 一つだけ共通のものがある場合。 解θの個数は 2a+2-1=2a+1 個で,これが 13 に等しいためには a=6 でなければなりません。そうすると,sin(aθ)=0 となるのは θ=0, π/6, 2π/6, 3π/6, 4π/6, 5π/6, 6π/6, 7π/6, 8π/6, 9π/6, ... ですが,3π/6=π/2,9π/6=3π/2 で,これらは cosθ=0 となるθとかぶっています。 一つだけ共通のものがある場合について考えていたのに,これは矛盾です。よってこれも却下。 (3) ふたつ共通のものがある場合。 解の個数は 2a+2-2=2a 個で,これは偶数なのでまたもや不適。
結論は,θの範囲がわからないとできない,ということになります。 ただし,考え方としては上記のようなものになると思われます。
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