数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 微分積分 / Page: 0]

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■17177 / inTopicNo.1)

　微分積分

□投稿者/ satsuma 一般人(40回)-(2006/09/07(Thu) 22:13:18)

連続関数f(x)は等式xf(x)-∫[0→x]f(t)dt=x+log{√(x^2 + 1)-x}を満たす。
(1) x≠0のときf'(x)を求めよ。
(2) f(0)=log2をみたすf(x)を求めよ

という問題なのですが、(1)は両辺を微分してやれば良いと思うのですが、
式がごちゃごちゃになって、分からなくなってしまいました。
どなたかお助けお願い致します。。

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■17178 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 微分積分

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□投稿者/ KINO 付き人(85回)-(2006/09/07(Thu) 22:24:50)

■No17177に返信(satsumaさんの記事)
> 連続関数f(x)は等式xf(x)-∫[0→x]f(t)dt=x+log{√(x^2 + 1)-x}を満たす。
> (1) x≠0のときf'(x)を求めよ。
> (2) f(0)=log2をみたすf(x)を求めよ
>
> という問題なのですが、(1)は両辺を微分してやれば良いと思うのですが、
> 式がごちゃごちゃになって、分からなくなってしまいました。
> どなたかお助けお願い致します。。

(1) 両辺を微分すると
$2$f(x)+xf'(x)-f(x)=1+\frac{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-1}{\sqrt{x^2+1}-x}$ .
通分により $2$\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-1=\frac{x-\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}$ となるので右辺はだいぶ簡単になります。

(2) f(x) は連続関数であるということなので，等式の両辺を x≠0 で割って x→0 の極限をとりましょう。

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■17179 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 微分積分

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□投稿者/ satsuma 一般人(41回)-(2006/09/08(Fri) 00:06:58)

ありがとうございます。
(1)は簡単な計算だったんですね。。ちょっとぼけてました。。
(2)はどうすればよいのでしょうか。x(≠0)でわって極限をとると、∞×0などが出てきてどうすればよいのかわからなくなりました。。
よろしくお願い致します。

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■17195 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 微分積分

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□投稿者/ KINO 付き人(86回)-(2006/09/08(Fri) 16:20:03)

2006/09/08(Fri) 16:21:27 編集(投稿者)

■No17179に返信(satsumaさんの記事)

ぼけていたのは僕の方です。
いろいろ不備がありました。すみません。

(1) f(x) は連続関数であることしかあらかじめわかっていませんので，いきなり与えられた等式の「左辺を微分する」などということはやってはいけませんでした。
$2$x\ne 0$ において
$2$f(x)=1+\frac{\displaystyle\int^{x}_{0}f(t)dt+\log (\sqrt{x^2+1}-x)}{x}$
と変形すると， $2$f(x)$ が連続関数ならば $2$\displaystyle\int^{x}_{0}f(t)dt$ は微分可能なので，この右辺は $2$x\ne 0$ で微分可能であることがわかります。
よって等号で結ばれた $2$f(x)$ も微分可能であることが確認できました。

(2) 与えられた等式の両辺を x で割って極限をとっても何も出てきませんでしたね。ミスリードしてしまって申し訳ありません。
なかなか手ごわかったのですが，どうやら次のように考えることになりそうです。
$2$1-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{\sqrt{x^2+1}}$ の分子と分母に $2$\sqrt{1+x^2}+1$ をかけると
$2$\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}+1}\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$
となりますので， $2$x\ne 0$ において
$2$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+1}\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ となります。
(1) で log の項の計算をした経験から， $2$(\log (\sqrt{x^2+1}+1))'=f'(x)$ が成り立つのではと予想でき，これは正しいことが左辺を実際に計算すると確かめられます。
実際にはこんなひらめきは不要で，うまい置換の仕方があって，それで置換積分すれば簡単に求まるのかもしれませんが，ともかく $2$0<a<x$ につき
$2$f(x)-f(a)=\displaystyle\int^{x}_{a}f'(t)dt=\log (\sqrt{x^2+1}+1)-\log (\sqrt{a^2+1}+1)$
となります。なお，積分区間を $2$0<t<x$ にしかなったのは， $2$f'(x)$ を表す式が $2$x\ne 0$ でしか得られていないからです。
ここで $2$a\to 0$ の極限をとると， $2$f(x)$ の連続性より， $2$\lim_{a\to 0}f(a)=f(0)=\log 2$ ，また $2$\lim_{a\to 0}\log (\sqrt{a^2+1}+1)=\log (\sqrt{0^2+1}+1)=\log 2$ なので，結局 $2$x>0$ において
$2$f(x)=\displaystyle\int^{x}_{a}f'(t)dt=\log (\sqrt{x^2+1}+1)$ が得られます。右辺は $2$x=0$ でも連続ですし，上の議論は $2$x<a<0$ でも全く同様に成り立ちますので，最終的に全ての実数 $2$x$ に対して上の等式が成り立つことがわかります。

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■17238 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 微分積分

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□投稿者/ satsuma 一般人(42回)-(2006/09/09(Sat) 19:43:33)

どうもありがとうございました。(返信が遅くなってすいません。)

で、私もいろいろいじってみたところ、√(x^2+1)=tで置換すれば、f'(x)からf(x)が求められました。。

どうもありがとうございました。

解決済み!

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