数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 図形と方程式 / Page: 0]

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■16987 / inTopicNo.1)

　図形と方程式

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□投稿者/ 京都一般人(1回)-(2006/09/01(Fri) 20:45:27)

x,yが、不等式y≧1,y≦x,2x＋y≦9を同時に満たすとき、x＋yの最大値と最小値を求めなさい。

という問題が全然分かりません。解説お願いします。

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■16988 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 図形と方程式

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□投稿者/ KINO 付き人(60回)-(2006/09/01(Fri) 20:53:51)

■No16987に返信(京都さんの記事)

このような問題は，図を描いて考えるのが定石です。

まず，不等式 y≧1, y≦x, 2x＋y≦9 で表される範囲（領域）を D と名付けることにします。D を xy 平面に図示して下さい。それは点 (1,1), (3,3), (4,1) を頂点とする三角形の周および内部になるはずです。

x+y の最大値と最小値を求めるため，x+y=k とおきます。直線 y=-x+k が D と交点をもつような y 切片 k の最大値，最小値が求める x+y の最大値と最小値になります。

傾きが -1 の直線を D を描いた xy 平面に何本か引いて考えてみると，直線が (3,3) を通るときの k=6 が最大で，(1,1) を通るときの k=2 が最小値であることがわかります。

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■16989 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 図形と方程式

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□投稿者/ U.T 一般人(1回)-(2006/09/01(Fri) 21:02:37)

1≦y≦9-2xから
1≦9-2x
x≦4
よって1≦y≦x≦4より
x＋yの最大値8 最小値2

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■17000 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 図形と方程式

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□投稿者/ KINO 付き人(61回)-(2006/09/02(Sat) 00:03:14)

■No16989に返信(U.Tさんの記事)

式変形のみでやっていくというのは面白いですが，x+y の最大値が 8 というのは間違いです。

与えられた条件は 1≦y≦x かつ 2x+y≦9.
x≦(9-y)/2 より，y≦x≦(9-y)/2 となり，これより y≦(9-y)/2 が x が存在するための必要十分条件です。
ゆえに 3y≦9 となり，y が取り得る値の範囲は 1≦y≦3 となります。
さて，1≦y≦3 の範囲で y を固定します。そうすると x は y≦x≦(9-y)/2 の範囲をくまなく取り得ます。
したがって，x+y の値は，2y≦x+y≦(9+y)/2 の範囲で変動します。よって x+y の最小値は 2y で，最大値は (9+y)/2 です。
最小値 2y の 1≦y≦3 における最小値は y=1 のときの 2*1=2 で，これが求める x+y の最小値。
最大値は (9+y)/2 の 1≦y≦3 における最大値で，それは y=3 のときの (9+3)/2=6 となります。

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■17005 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 図形と方程式

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□投稿者/ U.T 一般人(2回)-(2006/09/02(Sat) 09:58:46)

■No17000に返信(KINOさんの記事)>

すいません
ｘが存在するための条件が抜けてましたね。
KINOさんご指摘ありがとうございます。

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