 | ■No16974に返信(ニョッキさんの記事)
> 曲線 √x+√y=√a の接線とx軸、y軸との交点をそれぞれA,Bとするとき、
> 原点をＯとしてＯＡ+ＯＢは一定であることを示せ。
>
> という問題です。
> 宜しくお願いします。
曲線の接線の方程式を求めましょう。
陰関数の微分法により
1/(2√x)+y'/(2√y)=0 ですから，接点を (p,q) (p≧0, q≧0) とおくと，これは曲線上にありますから √p+√q=√a をみたしています。
この点での傾きは y'=-√(q/p) で与えられます。
よって接線の方程式は y=-(√(q/p))*(x-p)+q です。
A の x 座標は 0=-(√(q/p))*(x-p)+q を解けば得られますし，B の y 座標は接線の方程式で x=0 とおけば得られます。
OA=(A の x 座標)，OB=(B の y 座標)=p+2√(pq)+q=(√p+√q)^2=a=(一定) で完了です。
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