□投稿者/ KINO 付き人(66回)-(2006/09/02(Sat) 20:48:08)
 | 2006/09/02(Sat) 20:49:13 編集(投稿者)
■No17039に返信(ニョッキさんの記事)
> 放物線y=1-x^2上の第一象限にある点Pにおける接線と
> x軸、y軸との交点をそれぞれ、A,Bとする.原点をＯとして、
> △ＯＡＢの面積の最小値を求めよ.
Pの座標を (t,1-t^2) とおきます。P は第一象限にあるということですから，t＞0 の範囲で考えることになります。
P における接線の方程式は，(1-x^2)'=-2x より傾きが -2t になることから，
y=-2t(x-t)+1-t^2 で与えられます。
x 軸との交点 A の x 座標は，y=0 とおくことによって，x=(t^2+1)/(2t)，
y 軸との交点 B の y 座標は，x=0 とおくことによって，y=1+t^2 となります。
よって OA=(t^2+1)/(2t)，OB=t^2+1 で，角AOB は直角ですから，
△OABの面積＝(1/2)OA*OB=(t^2+1)^2/(4t)
となります。
ややこしそうな関数が出てきましたが，ひるまず突き進みましょう。
f(t)=(t^2+1)^2/t とおくと，f(t)/4 が△OAB の面積ですので，t>0 における f(t) の最小値を求めます。
商の微分と合成関数の微分などを駆使すると，
f'(t)=(t^2+1)(3t^2-1)/(4t^2)
となります。f'(t) の符号を決めているのは 3t^2-1 であることに注意すると，t＞0 においては t=1/√3 で f(t) が最小になることがわかります。
よって△ABCの面積の最小値は f(1/√3)/4. あとはちゃんとこの値を求めましょう。
|
|