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まずCD=u,DA=vとおいてu,vを求めることを考えます。
これは△BCDに着目して連立方程式を立てて求めます。
条件より四角形ABCDは円に内接するので
∠CDA=180°-∠ABC=120°①
ここで△ACDにおいて∠CDAに関する余弦定理により
AC^2=CD^2+AD^2-2CD・DAcos∠CDA
となることから(1)の結果(AC=14になりました)と①を用いると
14^2=u^2+v^2+uv ②
次に△BCD、△ABC、四角形ABCDの面積をそれぞれS,S1,S2とおくと
S2=S+S1=39√3
S1=(1/2)AB・BCsin∠ABC=(1/2)16・6sin60°=24√3
((1)の過程よりAB=16になりました)
∴S=39√3-24√3=15√3
ここで
S=(1/2)CD・DAsin∠CDA=(√3/4)uv
でもあるから
(√3/4)uv=15√3 ③
②③を連立して解きu,vを求めます。
ただこの問題の場合は必要なのはCD+DA=u+vなので
u>0,v>0に注意してu+vを求めることを考えた方が計算は早いです。
(②③からuvを消去する)
計算結果はu+v=16となるので求める四角形ABCDの周囲の長さは
AB+BC+CD+DA=16+6+u+v=22+16=38
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