数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[6]: ガウス / Page: 0]

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■16857 / inTopicNo.1)

　ガウス

□投稿者/ satsuma 一般人(34回)-(2006/08/30(Wed) 14:24:24)

2006/08/30(Wed) 14:42:24 編集(投稿者)

$2$a_n=[1.03n]$ とおくとき、(1) $2$a_n+1$ ≦ $2$a_{n+1}$ ≦ $2$a_n+2$ を示せ。

という問題で、
$2$a_n+1=[1.03n+1.03]$ ≦ $2$[1.03n+2]=[1.03n]+2=a_n+2$
という風に解答に書いてあるのですが、
$2$[1.03n+1.03]$ ≦ $2$[1.03n+2]$ がいえる理由と、
$2$[1.03n+2]=[1.03n]+2$ のようになる理由が分かりません。
ガウス記号に関する理解不足が原因と思うのですが、
教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。

(2) $2$a_{n+1}=a_n+2$ を満たす最小の自然nをもとめよ。
これも解答によると、 $2$a_n=n+[0.03*n]$ であるから $2$[0.03*n]$ の値の変わり目で
$2$a_{n+1}=a_n+2$ となり、 $2$a_n=m$ に対して $2$a_{n+1}=m+1$ を満たす自然数nは存在しない。
$2$[0.03*n]$ =0を満たす最大のnは33
とあるのですが、言っていることがさっぱり分かりません。
教えてください。

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■16864 / inTopicNo.2)

　Re[1]: ガウス

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□投稿者/ 平木慎一郎大御所(577回)-(2006/08/30(Wed) 15:28:15)

2006/08/30(Wed) 18:42:56 編集(投稿者)
2006/08/30(Wed) 15:29:02 編集(投稿者)

> $2$[1.03n+1.03]$ ≦ $2$[1.03n+2]$ がいえる理由
$2$[1.03]=1$ $2$[2]=2$ 　というのはわかりますか？
> $2$[1.03n+2]=[1.03n]+2$ のようになる理由が分かりません。
つまりガウス記号がとれても文字を含んでいない限り同じですね。
>
> (2) $2$a_{n+1}=a_n+2$ を満たす最小の自然nをもとめよ。
> これも解答によると、 $2$a_n=n+[0.03*n]$ であるから $2$[0.03*n]$ の値の変わり目で
> $2$a_{n+1}=a_n+2$ となり、 $2$a_n=m$ に対して $2$a_{n+1}=m+1$ を満たす自然数nは存在しない。
> $2$[0.03*n]$ =0を満たす最大のnは33

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■16868 / inTopicNo.3)

　Re[2]: ガウス

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□投稿者/ satsuma 一般人(36回)-(2006/08/30(Wed) 16:19:17)

前半は理解できました。有難ういございます。
> $2$a_n=n+[0.03*n]$ というのは $2$a_n=[n+0.03n]$ ということで $2$n$ は
> 自然数ですからガウス記号がとれるのはお分かりですね。
> ではこの $2$a_n=n+[0.03*n]$ の $2$n$ の代わりに $2$n+1$ を入れてみると
> $2$a_{n+1}=n+1+[0.03*(n+1)]$
> $2$a_{n+1}=n+1+0+[0.03*n]$
> となります。
> ここで $2$a_n=n+[0.03*n]$
> が代入できますが、もしここで $2$[0.03*n]$ が1以上の数をとった場合
> $2$a_{n+1}$ と等しくなることはないですよね。
ここが、わかりません。何と $2$a_{n+1}$ が等しくなることはないのでしょうか。
$2$a_n+2$ と $2$a_{n+1}$ が等しくなることは無いということなのでしょうか。
$2$a_n+2$ と $2$a_{n+1}$ が等しくなることは無いということなら、
$2$[0.03*n]$ が1以上の数をとった場合、 $2$a_{n+1}$ と等しくなることはないという意味もよく分かりません。
何度も申し訳ありませんが、よろしくお願いします。

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■16875 / inTopicNo.4)

　Re[3]: ガウス

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□投稿者/ KINO 一般人(39回)-(2006/08/30(Wed) 17:47:14)

2006/08/30(Wed) 17:49:10 編集(投稿者)

模範解答を無視してこう考えてはいかがでしょうか。

俗にいうガウス記号の基本的な性質を述べておきます。

まず，実数 x に対し，それを超えない最大の整数を [x] で表します。
したがって，[x]+1 は [x] よりも大きい整数ですから，[x]+1 は x よりも大きいことになります。よって [x]≦x＜[x]+1 という不等式が成り立ちます。
また，この定義から k≦x＜k+1 をみたす整数 k は [x] に等しいことになります。

さて，実数 x，y に x≦y という大小関係があるとき [x]≦[y] であることを示しましょう。[x]≦x≦y なので，[x] は y を超えない整数のひとつです。y を超えない整数の最大のものが [y] なので，[x]≦[y] であることになります。

次に，xを実数，k を整数とするとき，[x+k]=[x]+k が成り立つことを示します。
それには，[x]≦x＜[x]+1 の両辺に k を加えて得られる不等式 [x]+k≦x+k＜([x]+k)+1 において，[x]+k が整数であることから，初めに述べた性質から [x]+k=[x+k] であることがわかります。

さて，このような準備の下で (2) について考えていきましょう。
まず， $2$a_{n+1}=a_n+2$ を具体的に書くと，
$2$[1.03(n+1)]=[1.03n]+2$ となります。1.03(n+1)=n+1+0.03(n+1)，1.03n=n+0.03n であることから， $2$[1.03(n+1)]=n+1+[0.03(n+1)]$ ， $2$[1.03n]=n+[0.03n]$ となります。これらの関係を $2$[1.03(n+1)]=[1.03n]+2$ に代入して整理すると，
$2$[0.03(n+1)]=[0.03n]+1$ を得ます。
このことから，この等式をみたす最小の自然数 n を求めればよいことになります。
さて，0.03n は正の数ですから，0.03n≧0 という不等式が必ず成り立ちます。よって [0.03n]≧0 です。したがって， $2$[0.03(n+1)]-1\ge [0.03n]\ge 0$ より， $2$[0.03(n+1)]\ge 1$ でなければなりません。そうすると目標は， $2$[0.03(n+1)]\ge 1$ をみたす最小の n を求めることになります。
n が大きいほど 0.03(n+1) は大きくなり，したがって [0.03(n+1)] も大きくなります。そこで，[0.03(n+1)]=1 をみたす最小の n を求めれば，それが求める解であることがわかります。
これより，1≦0.03(n+1)＜2 という不等式を得ますが，用があるのは 1≦0.03(n+1) の方です。つまり，求める n は 1/(0.03)-1≦n をみたす最小の整数 n ということになります。

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■16876 / inTopicNo.5)

　Re[2]: ガウス

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□投稿者/ KINO 一般人(40回)-(2006/08/30(Wed) 17:54:51)

■No16864に返信(平木慎一郎さんの記事)
> $2$a_{n+1}=n+1+[0.03*(n+1)]$
> $2$a_{n+1}=n+1+0+[0.03*n]$

この式変形は正しくないと思います。つまり，
[0.03n+0.03]=[0.03n]
は一般には成り立ちません。

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■16880 / inTopicNo.6)

　Re[3]: ガウス

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□投稿者/ 平木慎一郎大御所(582回)-(2006/08/30(Wed) 18:41:17)

■No16876に返信(KINOさんの記事)
> ■No16864に返信(平木慎一郎さんの記事)
>> $2$a_{n+1}=n+1+[0.03*(n+1)]$
>> $2$a_{n+1}=n+1+0+[0.03*n]$
>
> この式変形は正しくないと思います。つまり，
> [0.03n+0.03]=[0.03n]
> は一般には成り立ちません。
失礼しました

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■16900 / inTopicNo.7)

　Re[4]: ガウス

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□投稿者/ satsuma 一般人(38回)-(2006/08/30(Wed) 22:13:36)

KINOさんの解答では、理解できました。。
平木さん、KINOさん、どうもありがとうございました。
ただ、やっぱり解答のやりかたも気になります。
解答はたった３行で済ませているので、ちょっとスマートすぎて私には理解しがたいのかなとは思いますが、
やっぱり理解したいという気持ちがありますので、
どなたか教えてください。

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■16925 / inTopicNo.8)

　Re[5]: ガウス

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□投稿者/ KINO 付き人(50回)-(2006/08/31(Thu) 07:24:21)

(1) について。
改めて見直して気付いたのですが，

> (1) $2$a_n+1$ ≦ $2$a_{n+1}$ ≦ $2$a_n+2$ を示せ。
>
> という問題で、
> $2$a_n+1=[1.03n+1.03]$ ≦ $2$[1.03n+2]=[1.03n]+2=a_n+2$

の部分の $2$a_n+1=[1.03n+1.03]$ は等式ではなく， $2$a_n+1\le [1.03n+1.03]$ という不等式のはずです。そうでなければ $2$a_n+1=a_{n+1}$ が必ず成り立つことになってしまいます。

(2) について。
「３行」程度で終わる「スマート」な解答はこんな感じでしょうか。

条件は [0.03(n+1)]=[0.03n]+1 が成り立つ最小の n を求めることと同値である。
1≦n≦33 なる n に対し [0.03*n]=0 で，[0.03*34]=1 であるから，
このような n は 33 である。

> ただ、やっぱり解答のやりかたも気になります。

僕の解説と，模範（？）解答は本質的に同じ内容であると思います。
というより，No.16875 で
> 模範解答を無視してこう考えてはいかがでしょうか。
と書いたのは不適切で，正しくは
「模範解答を参考に自分なりに再構成したら次のようになりました。」
とすべきでした。

> 解答はたった３行で済ませているので、ちょっとスマートすぎて私には理解しがたいのかなとは思いますが、

ご安心下さい。少なくとも私にとっても理解しがたいです。

さて，模範解答を理解しようとする試みは徒労に終わりそうだと思われる理由を以下に述べさせていただきます。

「 $2$a_n=n+[0.03*n]$ であるから $2$[0.03*n]$ の値の変わり目で $2$a_{n+1}=a_n+2$ となり、」

「 $2$[0.03*n]$ の値の変わり目」とはいったいどういうことでしょうか？
意味が分からなくはないですが，未熟な表現に思われます。
「変わり目」とは，[0.03(n+1)]=[0.03n]+1 となるような n の値を指すのでしょうから， $2$a_{n+1}=a_n+2$ と [0.03(n+1)]=[0.03n]+1 とが同値である，と書いた方がよっぽどましです。

「 $2$a_n=m$ に対して $2$a_{n+1}=m+1$ を満たす自然数nは存在しない。」

直前の文との論理的なつながりが不明です。
そもそも，なぜ m などという文字を使う必要があるのかよくわかりません。
また，例えば $2$a_2=a_1+1$ が成り立ちますから，この主張は間違っています。
この一文は不要だと思います。

「 $2$[0.03*n]$ =0を満たす最大のnは33」

これもまた唐突な主張です。内容は正しいのですが，これが解答の中でどういう位置づけの事実なのか，すぐにはわからない仕組みになっています。
つまり「最小の n」というのを求めなければならないのに，なんで「最大の n」について考えているのか，両者のつながりがすぐにはわかりません。
ここの部分は，「[0.03*n] の値の最初の『変わり目』は n=33 のときである」とでも書けばよかったのではないでしょうか。

僕の読解力では上のような分析が精一杯です。
何かしら参考になるといいのですが。

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■16962 / inTopicNo.9)

　Re[6]: ガウス

▲▼■

□投稿者/ satsuma 一般人(39回)-(2006/08/31(Thu) 23:12:41)

2006/08/31(Thu) 23:13:09 編集(投稿者)

ご解答どうも有難うございます。。
KINOさんでも解答が理解しがたいというのを聞いてほっとしました。
たまに、解答にも明らかにおかしいだろうというのも載っていることがあったので、
あまり解答にこだわらないようにしてみたいと思います。
どうもありがとうございました。

解決済み!

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