 | ■No16827に返信(市川さんの記事)
> a[n+1]-a[n］=-3n^2+29n-18
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> この時、数列｛a[n］｝の一般項a[n］が最大となるnの値を求めよ。
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> とりあえずこの式の右辺を関数とみて、n=9のとき0になるというのが出たんですが、これは関係ありますか？
関係あります。
a[n+1]-a[n]＞0 のとき，a[n+1] は a[n] より大きく，
a[n+1]-a[n]＜0 のとき，a[n+1] は a[n] より小さいことがわかります。
こう考えると，f(n)=-3n^2+29n-18 とおくとき，
f(1)>0 より a[2]>a[1]，
f(2)>0 より a[3]>a[2], ...
と初めのうちは a[n] の値がどんどん増えていくことがわかります。
a[n+1] が a[n] より大きいか小さいかは f(n) の符号で決まるわけですから，f(n) の符号を調べればよいことになります。
因数分解により f(n)=-(3n-2)(n-9)
となります。x が実数のとき，2次関数 -(3x-2)(x-9) は
x<2/3 または 9<x のとき負，
2/3<x<9 において正
です。いま n は自然数なので，2/3<n<9 の範囲にある自然数，つまり n=1 から 8 までにおいては f(n)>0，つまり a[n] の値は増加していき，f(9)=0 より a[10]=a[9] となり，n>9 においてはずっと f(n)<0 ですから a[n] の値は減少しっぱなしになります。
というわけで，
a[1]<a[2]<...<a[9]=a[10]>a[11]>a[12]>...
という大小関係がわかります。
これで a[n] が最大になる n の値がわかります。
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