| ■No16827に返信(市川さんの記事) > a[n+1]-a[n]=-3n^2+29n-18 > > この時、数列{a[n]}の一般項a[n]が最大となるnの値を求めよ。 >
> とりあえずこの式の右辺を関数とみて、n=9のとき0になるというのが出たんですが、これは関係ありますか?
関係あります。
a[n+1]-a[n]>0 のとき,a[n+1] は a[n] より大きく, a[n+1]-a[n]<0 のとき,a[n+1] は a[n] より小さいことがわかります。 こう考えると,f(n)=-3n^2+29n-18 とおくとき, f(1)>0 より a[2]>a[1], f(2)>0 より a[3]>a[2], ... と初めのうちは a[n] の値がどんどん増えていくことがわかります。 a[n+1] が a[n] より大きいか小さいかは f(n) の符号で決まるわけですから,f(n) の符号を調べればよいことになります。 因数分解により f(n)=-(3n-2)(n-9) となります。x が実数のとき,2次関数 -(3x-2)(x-9) は x<2/3 または 9<x のとき負, 2/3<x<9 において正 です。いま n は自然数なので,2/3<n<9 の範囲にある自然数,つまり n=1 から 8 までにおいては f(n)>0,つまり a[n] の値は増加していき,f(9)=0 より a[10]=a[9] となり,n>9 においてはずっと f(n)<0 ですから a[n] の値は減少しっぱなしになります。 というわけで, a[1]<a[2]<...<a[9]=a[10]>a[11]>a[12]>... という大小関係がわかります。 これで a[n] が最大になる n の値がわかります。
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