数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 数Ⅱ・B / Page: 0]

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■16824 / inTopicNo.1)

　数Ⅱ・B

□投稿者/ まお一般人(18回)-(2006/08/29(Tue) 23:19:29)

円C:x^2+y^2=36に点Qをとる。
点Qと定点A(2，4)を結ぶ線分AQの中点をPとする。

①点Qの座標を(s，t)とするとき、点Pの座標(x，y)をs，tで表せ。
②点Qが円C上を動く時、点Pの軌跡を求め、図示せよ。
③線分OPの長さが最大および最小になるときの点Pの座標をそれぞれ求めよ。
(ただし、Oは原点を表す)

考えても、よくわからなくて…。
わかる方教えてください。

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■16826 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数Ⅱ・B

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□投稿者/ miyup 大御所(682回)-(2006/08/30(Wed) 00:15:52)

2006/08/30(Wed) 08:20:59 編集(投稿者)
2006/08/30(Wed) 00:31:23 編集(投稿者)

■No16824に返信(まおさんの記事)
> 円C:x^2+y^2=36に点Qをとる。
> 点Qと定点A(2，4)を結ぶ線分AQの中点をPとする。
>
> ①点Qの座標を(s，t)とするとき、点Pの座標(x，y)をs，tで表せ。

A(2, 4) と Q(s, t) をたして２で割ると P(x, y) ですね。x=, y= の式を作りましょう。

> ②点Qが円C上を動く時、点Pの軌跡を求め、図示せよ。

Q(s, t) は円周上の点より、s^2+t^2=36 になります。
これに①の式を、s=, t= として代入・整理すると、円の式ができます。これが点Pの軌跡です。

> ③線分OPの長さが最大および最小になるときの点Pの座標をそれぞれ求めよ。 (ただし、Oは原点を表す)

②の円の中心を点Ｒとおいて、直線ＯＲを引くと、②の円と２点で交わります。
点Ｏに近い方を点Ｒ1, 遠い方を点Ｒ2 とおくと、ＯＰの最小＝ＯＲ1、最大＝ＯＲ2 です。

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■16836 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 数Ⅱ・B

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□投稿者/ 数樂一般人(12回)-(2006/08/30(Wed) 01:03:23)

①点Q(s，t)，点A(2,4)として、点P(x，y)が線分AQの中点だから
　　(x，y)＝((s+2)/2，(t+4)/2)
　　よって
　　x＝(s+2)/2，y＝(t+4)/2

②　x＝(s+2)/2，y＝(t+4)/2　より
　　　s＝2x-2，t＝2y-4　･･････(1)
　点Q(s，t)　は円　x^2+y^2=36　上の点だから
　　　s^2+t^2=36
　よって (1) より
　　　(2x-2)^2+(2y-4)^2＝36
　　　4(x-1)^2+4(y-2)^2＝36
　　　(x-1)^2+(y-2)^2＝9
　よって点Pの軌跡は、中心(1，2)，半径 3 の円である。

③円の中心をＣとすると、OPが最大・最小になるのは点Pが直線OCと
　円周の２つの交点の位置に来たときで、２つの交点のうち原点から遠い方に
　来たときが最大で、原点から近い方に来たときが最小となる。
　直線OCの方程式は　y=2x　で　円の方程式は　(x-1)^2+(y-2)^2＝9　だから
　両者の交点の x 座標は、この２つの式を連立させて・・・
　　　　(x-1)^2+(2x-2)^2＝9　
　　　　(x-1)^2+4(x-1)^2＝9
　　　　5(x-1)^2＝9
　　　　5(x^2-2x+1)＝9
　　　　5x^2-10x-4＝0
　　　　x＝｛5±√(25+20)｝/5
　　　　x＝｛5±√45｝/5
　　　　x＝｛5±3√5｝/5
　このとき
　　　　y＝2x＝｛10±6√5｝/5
よってOPを最大にする点Pの座標は(｛5＋3√5｝/5，｛10＋6√5｝/5)
　　　　OPを最小にする点Pの座標は(｛5－3√5｝/5，｛10－6√5｝/5)

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■16854 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 数Ⅱ・B

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□投稿者/ まお一般人(19回)-(2006/08/30(Wed) 12:39:30)

詳しい説明ありがとうございました。
ちょっとわからない問題出てきたので、できれば解答と解説をお願いします。

Kを正の定数とする。xy平面上の原点Oを通る直線l{o}:y=kxと、2点A(0，2)，B(1，0)と通るl{1}とを考える。
l{1}の方程式はy=□である。
l{o}とl{1}の交点Pの座標をkを用いて表すと□である。
線分OPの中点Mと点Aとを通る直線l{2}の方程式をkを用いて表すとy=□である。
直線l{o}とl{2}が垂直に交わる時のkの値は、□であり、この時、三角形AOPの外接円の方程式は(x-□)^2+(y-1)^2=□である。

ややこしく書いてごめんなさい。
□の答えと解説を知りたいんです…。
{}の中の数字は、lの下に小さな文字として意味しています。
どう書けばいいのかわからなくて、ごめんなさい。
どなたか教えてください。

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■16855 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 数Ⅱ・B

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□投稿者/ KINO 一般人(37回)-(2006/08/30(Wed) 13:23:04)

別の質問は，新規にスレッドを作成した方が回答者の方々の目に付きやすいので，今後はそうした方がいいと思います。

> {}の中の数字は、lの下に小さな文字として意味しています。

下付きの文字を表すのに，こういう数学系の掲示板では通常 l_0 というようにアンダースコア "_" を使います。
また，この数学ナビゲーターの掲示板は画期的で，教科書に載っているような数式を表示することの出来る TeX というソフトのコマンドが使用できます。（管理人さんすごい！！）
詳しくは，この掲示板の「HOME」にある「掲示板での数式記述」という項目をご覧下さい。

> l{1}の方程式はy=□である。

A(0,2) を通ることから l_1 の y 切片が 2 ですから，あとは傾きを a とおけば方程式を y=ax+2 とおけて，あとは点 B を通ることから x=1，y=0 を代入した式から a を求めましょう。

> l{o}とl{1}の交点Pの座標をkを用いて表すと□である。

y=kx と y=-2x+2 を連立方程式とみて，y を消去すると kx=-2x+2 となります。
これを x について解けば交点 P の x 座標が求まります。
なお，k+2=0 となることがあると分母が 0 の分数が出てきてしまいますが，k は正の数なのでこの心配はありません。

> 線分OPの中点Mと点Aとを通る直線l{2}の方程式をkを用いて表すとy=□である。

P(p,kp) とおきます。ここで p は前の問題で求められた P の x 座標です。前の問題で求めた値を代入して下さい。
M の座標は (p/2,kp/2) ですから，あとは初めの問題と同様に，点 A を通る直線の方程式を y=bx+2 とおいて x=p/2，y=kp/2 を代入して b を求めて下さい。

> 直線l{o}とl{2}が垂直に交わる時のkの値は、□であり、この時、三角形AOPの外接円の方程式は(x-□)^2+(y-1)^2=□である。

傾きが m と n であるようなふたつの直線 y=mx+r，y=nx+s が垂直に交わるとき，mn=-1 という関係があります。
したがって，(直線 l_0 の傾き)×(直線 l_2 の傾き)=-1 という式から k の方程式をつくり，それを解けばよいことになります。

また，外接円の中心の y 座標が 1 であることは与えられた式を見るとわかりますので，中心の x 座標を c，半径を r とおいて
(x-c)^2+(y-1)^2=r^2
とおきます。まず点 O や点 A がこの円周上にあることから，x=y=0 または x=0，y=2 を代入すると c^2+1=r^2 を得ます。
次に，もう k の値は決まっていますから，点 P の座標も具体的に決まっています。
あとは点 P の座標を放り込んで c, r に関する方程式を導き，r^2 を消去して c に関する 2 次方程式を作ってそれを解き，その c の値を用いて最後に r^2 を求めれば終わりです。

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■16856 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 数Ⅱ・B

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□投稿者/ まお一般人(20回)-(2006/08/30(Wed) 13:35:36)

長い説明ありがとうございます。
次からはそうします。
ありがとうございました。

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