 | とりあえずるなさんの方針に従って考えて見ましょう。
3^x=t とおいて t に関する 2 次方程式が得られました。
それでは，その2次方程式がどのような解を持てば，もとの x についての方程式が「正の解，負の解を1つずつもつ」という条件をみたすでしょうか？
まず，3^x は x がどんな実数でも，必ず 0 以上の数です。したがって t＞0 という条件がつきます。
また，x>0 ならば 3^x>1，x<0 ならば 3^x<1 ですから，以上のことから，
「xについての方程式9^x+2a*3^x+2a^2+a-6=0が正の解、負の解を１つずつもつ」
ことは，
「t についての方程式9^x+2a*3^x+2a^2+a-6=0が 0<t<1 と 1<t の範囲にそれぞれひとつずつ解をもつ」
ことと同値になります。
で，おそらく模範解答では f(t)=t^2+2at+2a^2+a-6=0 が 0<t<1 と t>1 にひとつずつ解があるための条件として，f(0)>0，f(1)<0 を考えたのだと思います。
y=f(t) は t^2 の係数が 1 で正ですから，U 字型のグラフです。そのグラフが f(0)>0，f(1)<0 という条件をみたせば，グラフと t 軸との交点が 0<t<1 と t>1 の範囲にそれぞれ1つずつできることが，図を描いてみるとわかると思います。
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