数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[10]: 絶対値つき関数 / Page: 0]

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■16742 / inTopicNo.1)

　絶対値つき関数

□投稿者/ やくみつ一般人(14回)-(2006/08/28(Mon) 18:48:28)

①関数ｆ(x）＝｜ｘ－１｜＋｜ｘ＋２｜＋｜ｘ－ａ｜は、ａ＝３のとき最小値（　　）をとり、ａ＝「　　」（≠３）のときも同じ最小値をとる。

②関数ｆ(x）＝ー｜２ｘ－１｜＋１（０≦ｘ≦１））を用いて、関数ｇ(x）＝ー｜２ｆ(x）－１｜＋１（０≦ｘ≦１）を考える。０＜Ｃ＜１のとき、ｇ(x）＝Ｃを満たすｘを求めよ、

以上２問、解説を見てもまったくわかりません。すみませんが、教えてください。

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■16771 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 絶対値つき関数

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□投稿者/ miyup 大御所(676回)-(2006/08/28(Mon) 22:45:05)

■No16742に返信(やくみつさんの記事)
> ①関数ｆ(x）＝｜ｘ－１｜＋｜ｘ＋２｜＋｜ｘ－ａ｜は、ａ＝３のとき最小値（５）をとり、ａ＝「　　」（≠３）のときも同じ最小値をとる。

後半部分：　f(x) は折れ線グラフなので、最小値の候補は f(1),f(-2),f(a) である。

f(1) = |a-1|+3 = a+2(a≧1)① または -a+4(a≦1)②
f(-2) = |a+2|+3 = a+5(a≧-2)③ または -a+1(a≦-2)④
f(a) = |a-1|+|a+2| = -2a-1(a≦-2)⑤ または 3(-2≦a≦1)⑥ または 2a+1(a≧1)⑦

i)a≦-2のとき、②④⑤で最小は④より、-a+1=5　∴a=-4。
ii)-2≦a≦1のとき、②③⑥で最小は⑥より、3≠5 で不適。
iii)a≧1のとき、①③⑦で最小は①より、a+2=5　∴a=3。

以上より、a=-4 のときも同じ最小値をとる。

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■16772 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 絶対値つき関数

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□投稿者/ laki 付き人(81回)-(2006/08/28(Mon) 22:57:31)

> ②関数ｆ(x）＝ー｜２ｘ－１｜＋１（０≦ｘ≦１））を用いて、関数ｇ(x）＝ー｜２ｆ(x）－１｜＋１（０≦ｘ≦１）を考える。０＜Ｃ＜１のとき、ｇ(x）＝Ｃを満たすｘを求めよ、

x=1/2を境にl2x-1lの符号が逆転するので

f(x)=-(2x-1)+1=-2x+2,(x≧1/2)
f(x)=(2x-1)+1=2x,(x<1/2)

これらより、g(x)は

g(x)=-l2(-2x+2)-1l+1=-l-4x+3l+1=-l4x-3l+1,(x≧1/2)
g(x)=-l2(2x)-1l+1=-l4x-1l+1,(x<1/2)

l‥l=0となるのはx=1/4,3/4なので、xの範囲が～1/4～1/2～3/4で場合わけ

g(x)=(4x-1)+1=4x,(x≦1/4)
g(x)=-(4x-1)+1=-4x+2,(1/4<x≦1/2)
g(x)=(4x-3)+1=4x-2,(1/2<x≦3/4)
g(x)=-(4x-3)+1=-4x+4,(3/4<x≦1)

これらそれぞれとy=cとを連立して、xの解c/4,(2-c)/4,(2+c)/4,(4-c)/4を得ます

解答にはもっと簡単な方法で解説してるかもしれませんが
絶対値になれないうちはこれでよいかと。

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■16810 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 絶対値つき関数

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□投稿者/ やくみつ一般人(17回)-(2006/08/29(Tue) 21:01:08)

お二方とも、詳しい解説有難うございました。

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■17035 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 絶対値つき関数

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□投稿者/ やくみつ一般人(18回)-(2006/09/02(Sat) 19:38:49)

たびたびすいません。①「ａ＝３のとき最小値（　５　）」という解答になるのか

②「)a≦-2のとき、②④⑤で最小は④より、-a+1=5　∴a=-4。
ii)-2≦a≦1のとき、②③⑥で最小は⑥より、3≠5 で不適。
iii)a≧1のとき、①③⑦で最小は①より、a+2=5　∴a=3。」
の部分の詳しい解説

③②の解説において「‥l=0となるのは」の意味

以上の３点をすいませんが、よろしくお願いします。ごめんなさい。

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■17043 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 絶対値つき関数

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□投稿者/ miyup 大御所(705回)-(2006/09/02(Sat) 21:26:12)

■No17035に返信(やくみつさんの記事)
> ａ＝３のとき最小値（　５　）　という解答になるのか

本来は場合分けして、きちんとグラフを書くべきでしょうが、スピード重視で解くと

ｆ(x）＝｜x-1｜＋｜x+2｜＋｜x-3｜は、x=1, -2, 3 で折れ曲がる折れ線グラフです。
よって、最小値の候補は f(1), f(-2), f(3) です。

f(1)=5, f(-2)=8, f(3)=7 より、最小値は 5 。

> i) a≦-2のとき、②④⑤で最小は④より、-a+1=5　∴a=-4。
> ii) -2≦a≦1のとき、②③⑥で最小は⑥より、3≠5 で不適。
> iii) a≧1のとき、①③⑦で最小は①より、a+2=5　∴a=3。

最小値の候補は f(1), f(-2), f(a) です。
f(1) = |a-1|+3 = a+2(a≧1)① または -a+4(a≦1)②
f(-2) = |a+2|+3 = a+5(a≧-2)③ または -a+1(a≦-2)④
f(a) = |a-1|+|a+2| = -2a-1(a≦-2)⑤ または 3(-2≦a≦1)⑥ または 2a+1(a≧1)⑦

f(x)=|x-a|+|x+2|+|x-1| とみれば（a≦-2のとき）、最小値は②か④か⑤で　-a+1 ≦ -2a-1 , -a+1 < -a+4 より、最小値は -a+1

f(x)=|x+2|+|x-a|+|x-1| とみれば（-2≦a≦1のとき）、最小値は②か③か⑥で　3 ≦ -a+4 , 3 ≦ a+5 より、最小値は 3

f(x)=|x+2|+|x-1|+|x-a| とみれば（a≧1のとき）、最小値は①か③か⑦で　a+2 < a+5 , a+2 ≦ 2a+1 より、最小値は a+2

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■17061 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 絶対値つき関数

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□投稿者/ やくみつ一般人(19回)-(2006/09/03(Sun) 15:38:57)

たびたびすいません。なぜ、①「f(1)=5」になるのか、ｆ(１）＝１-1＋１+2＋１-3＝１になってしまうのですが、

②「または 3(-2≦a≦1)」においてなぜ、３というふうになるのか。何度もすいませんが

よろしくおねがいします。

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■17062 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 絶対値つき関数

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□投稿者/ miyup 大御所(708回)-(2006/09/03(Sun) 16:29:22)

2006/09/03(Sun) 16:35:15 編集(投稿者)

■No17061に返信(やくみつさんの記事)
>
> たびたびすいません。なぜ、①「f(1)=5」になるのか、ｆ(１）＝１-1＋１+2＋１-3＝１になってしまうのですが、

ｆ(１）＝|１-1|＋|１+2|＋|１-3|＝|0|+|3|+|-2|＝0+3+2＝5 です。

> f(a) = |a-1|+|a+2| = 3(-2≦a≦1)⑥

-2≦a≦1 のとき、a-1≦0 より |a-1|=-(a-1)、a+2≧0 より |a+2|=a+2

よって、f(a) = |a-1|+|a+2| = -(a-1)+(a+2) = 3です。

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■17063 / inTopicNo.9)

　Re[8]: 絶対値つき関数

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□投稿者/ やくみつ一般人(21回)-(2006/09/03(Sun) 17:21:34)

どうも有難うございました。助かりました。

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■17134 / inTopicNo.10)

　Re[9]: 絶対値つき関数

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□投稿者/ やくみつ一般人(27回)-(2006/09/05(Tue) 16:04:28)

たびたびすいません。

「(x)=|x-a|+|x+2|+|x-1| とみれば（a≦-2のとき）、最小値は②か④か⑤で　-a+1 ≦ -2a-1 , -a+1 < -a+4 より、最小値は -a+1

f(x)=|x+2|+|x-a|+|x-1| とみれば（-2≦a≦1のとき）、最小値は②か③か⑥で　3 ≦ -a+4 , 3 ≦ a+5 より、最小値は 3

f(x)=|x+2|+|x-1|+|x-a| とみれば（a≧1のとき）、最小値は①か③か⑦で　a+2 < a+5 , a+2 ≦ 2a+1 より、最小値は a+2」

をもっと詳しくお願いします。何度もすいません。

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■17137 / inTopicNo.11)

　Re[10]: 絶対値つき関数

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□投稿者/ miyup 大御所(724回)-(2006/09/05(Tue) 20:55:00)

■No17134に返信(やくみつさんの記事)
> たびたびすいません。
>
> 「(x)=|x-a|+|x+2|+|x-1| とみれば（a≦-2のとき）、最小値は②か④か⑤で　-a+1 ≦ -2a-1 , -a+1 < -a+4 より、最小値は -a+1
>
> f(x)=|x+2|+|x-a|+|x-1| とみれば（-2≦a≦1のとき）、最小値は②か③か⑥で　3 ≦ -a+4 , 3 ≦ a+5 より、最小値は 3
>
> f(x)=|x+2|+|x-1|+|x-a| とみれば（a≧1のとき）、最小値は①か③か⑦で　a+2 < a+5 , a+2 ≦ 2a+1 より、最小値は a+2」

便宜上、f(x)を上のように書きましたが、要は a, -2, 1 の大小関係が
a≦-2＜1, -2≦a≦1, -2＜1≦a　の３通りあるということです。

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