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■16463 / inTopicNo.1)

　自然関数の極限値の問題

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□投稿者/ ニョッキ一般人(1回)-(2006/08/22(Tue) 14:58:35)

lim[t→+-∞](1+(1/t))^t=e として、次の式が成り立つことを示せ。
lim[x→0]((e^x)-1)/x=1

という問題です。
宜しくお願いします。

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■16464 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 自然関数の極限値の問題

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□投稿者/ miyup 大御所(624回)-(2006/08/22(Tue) 15:17:36)

■No16463に返信(ニョッキさんの記事)
> lim[t→+-∞](1+(1/t))^t=e として、次の式が成り立つことを示せ。
> lim[x→0]((e^x)-1)/x=1

微分を利用すると

f(x)=e^x とおくと、f'(x)=e^x .

lim[x→0]((e^x)-1)/x = lim[x→0]((e^x)-(e^0))/(x-0) = f'(0) = e^0 = 1 .

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■16465 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 自然関数の極限値の問題

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□投稿者/ ニョッキ一般人(2回)-(2006/08/22(Tue) 15:41:05)

■No16464に返信(miyupさんの記事)
> lim[x→0]((e^x)-(e^0))/(x-0) = f'(0)

ここの式変換が良くわかりません。
もう少し詳しくお願いしますm(_ _)m

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■16467 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 自然関数の極限値の問題

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□投稿者/ miyup 大御所(625回)-(2006/08/22(Tue) 16:39:53)

2006/08/22(Tue) 16:40:17 編集(投稿者)

■No16465に返信(ニョッキさんの記事)
> ■No16464に返信(miyupさんの記事)
>>lim[x→0]((e^x)-(e^0))/(x-0) = f'(0)
>
> ここの式変換が良くわかりません。

微分係数の定義 f'(a)=lim[x→a](f(x)-f(a))/(x-a) で

a=0, f(x)=e^x とおいたものです。

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■16473 / inTopicNo.5)

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□投稿者/ 数樂一般人(1回)-(2006/08/22(Tue) 20:54:16)

■No16463に返信(ニョッキさんの記事)
> lim[t→+-∞](1+(1/t))^t=e として、次の式が成り立つことを示せ。
> lim[x→0]((e^x)-1)/x=1

まず　lim[h→0]｛h/ log(1+h)｝=1　･･････(3)　を示し、これを用いて　lim[x→0]((e^x)-1)/x=1　を示します。

lim[t→+-∞](1+(1/t))^t=e 　･･････(1)
h=1/t　とおくと　t=1/h　で
t→+∞　のとき　h→+0
t→-∞　のとき　h→-0　だから　(1)は
lim[h→+0](1+h)^(1/h)=lim[h→-0](1+h)^(1/h)=e
よって
lim[h→0](1+h)^(1/h)=e 　　　･･････(2)
よって
lim[h→0]｛(1/h)*log(1+h)｝=lim[h→0]log(1+h)^(1/h)
　　　　　　　　　　　　　　　　=log｛lim[h→0](i+h)^(1/h)｝　　（← 対数関数の連続性より）
　　　　　　　　　　　　　　　　=log[e]e　　（←　(2)　より）
　　　　　　　　　　　　　　　　=1
分母と分子を入れ替えて
lim[h→0]｛h/log(1+h)｝ =1/1=1　･･････(3)

ここで　(e^x)-1=h　とおくと　e^x=1+h　よって　log(1+h)=x　で
h→0　のとき　x→0　だから(3)より
lim[x→0]((e^x)-1)/x=1

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■16494 / inTopicNo.6)

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□投稿者/ ニョッキ一般人(3回)-(2006/08/23(Wed) 17:40:20)

返信が少し遅れました。
お二人とも本当にありがとうございました。

解決済み!

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