数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 三角関数の問題です。お願いします。 / Page: 0]

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■16427 / inTopicNo.1)

　三角関数の問題です。お願いします。

□投稿者/ るな一般人(34回)-(2006/08/21(Mon) 22:44:12)

下の問題がわからないので教えて下さい。

x,yはsinx+siny=1,cosxcosy=3/4を満たし、0≦x<π,0≦y<πとする。
sin{(x+y)/2}=a,cos{(x-y)/2}=bとおくと、ab=1/2(sinx+siny)である。
b^2-a^2を求めよ。
という問題です。

abを求めるのも問題でしたので、それを使うのかと思って、
b^2-a^2=(b-a)^2+2abとして計算したのですが、うまく答えにもっていくことが出来ませんでした。
導入の部分だけでも教えていただけないでしょうか?

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■16428 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 三角関数の問題です。お願いします。

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□投稿者/ miyup 大御所(617回)-(2006/08/21(Mon) 23:01:57)

2006/08/21(Mon) 23:04:11 編集(投稿者)

■No16427に返信(るなさんの記事)
> 下の問題がわからないので教えて下さい。
>
> x,yはsinx+siny=1,cosxcosy=3/4を満たし、0≦x<π,0≦y<πとする。
> sin{(x+y)/2}=a,cos{(x-y)/2}=bとおくと、ab=1/2(sinx+siny)である。
> b^2-a^2を求めよ。

ab
=1/2(sinx+siny)
=1/2 ですね。

b^2=cos^2{(x-y)/2}={1+cos(x-y)}/2
a^2=sin^2{(x+y)/2}={1-cos(x+y)}/2 より

b^2-a^2
={cos(x-y)+cos(x+y)}/2
={cosxcosy+sinxsiny+cosxcosy-sinxsiny}/2
=cosxcosy
=3/4

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■16429 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 三角関数の問題です。お願いします。

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□投稿者/ 青海一般人(28回)-(2006/08/21(Mon) 23:06:11)

■No16427に返信(るなさんの記事)
> 下の問題がわからないので教えて下さい。
>
> x,yはsinx+siny=1,cosxcosy=3/4を満たし、0≦x<π,0≦y<πとする。
> sin{(x+y)/2}=a,cos{(x-y)/2}=bとおくと、ab=1/2(sinx+siny)である。
> b^2-a^2を求めよ。
> という問題です。
>
> abを求めるのも問題でしたので、それを使うのかと思って、
> b^2-a^2=(b-a)^2+2abとして計算したのですが、うまく答えにもっていくことが出来ませんでした。c
> 導入の部分だけでも教えていただけないでしょうか?

$2$(b - a)^2 = b^2 - 2ab + a^2 = b^2 + a^2 - 2ab$ なので、

$2$b^2-a^2=(b-a)^2+2ab$ とはならないですよ。

半角公式を使って、

$2$a^2 = \sin ^2{\left(\frac{x+y}{2}\right)} = \frac{1 - \cos {\left(x + y\right)}}{2} = \frac{1 - \left{\cos {\left(x\right)}\cos {\left(y\right)} - \sin {\left(x\right)}\sin {\left(y\right)}\right}}{2}$

$2$b^2$ も同様に変換すると出来ると思います。

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■16481 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 三角関数の問題です。お願いします。

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□投稿者/ るな一般人(35回)-(2006/08/22(Tue) 22:17:11)

ありがとうございました。

この部分は分かったのですが、この先にbを求める部分があって、そこも分からないので教えていただいていいでしょうか?

今までのことから、b=±1というところまで行きました。しかし答えはb=1でした。b=-1は駄目だということはどこから示せばいいのでしょうか?

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■16482 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 三角関数の問題です。お願いします。

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□投稿者/ 青海一般人(34回)-(2006/08/22(Tue) 22:44:33)

2006/08/22(Tue) 22:45:22 編集(投稿者)

■No16481に返信(るなさんの記事)
> ありがとうございました。
>
> この部分は分かったのですが、この先にbを求める部分があって、そこも分からないので教えていただいていいでしょうか?
>
> 今までのことから、b=±1というところまで行きました。しかし答えはb=1でした。b=-1は駄目だということはどこから示せばいいのでしょうか?

$2$b = \cos {\left(\frac{x - y}{2}\right)} = -1$ のとき

$2$\frac{x - y}{2} = \pm \pi$ ⇒ $2$x - y = \pm 2 \pi$

(0 ≦ x < π)、(0 ≦ y < π) より、(-π < x - y < π) なので、b = -1 は範囲外になります。

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■16501 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 三角関数の問題です。お願いします。

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□投稿者/ るな一般人(36回)-(2006/08/23(Wed) 21:38:02)

ありがとうございました!!!
分かりました☆

解決済み!

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