数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 微分の応用問題なんですけど / Page: 0]

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■16254 / inTopicNo.1)

　微分の応用問題なんですけど

□投稿者/ Tom 一般人(1回)-(2006/08/18(Fri) 18:53:42)

ちょっと難しすぎるので詳しい解説をお願いします。

問
f(x)はxに関するn次の整式(多項式)とする。(n≧0)
(1) 2変数x,yの整式として
　　　f(x+y)=Po(x)+P1(x)*y+P2(X)*y^2+ ････ +Pn(x)*y^n
と書き表す。ただし、Pi(x)(i=0,1,2,･･･,n)はxに関する整式である。
（注：Pの横の数字(i)は数列みたいに右下に書く小さい数字です）
このとき、Po(x)=f(x),P1(x)=f'(x),P2(x)=(1/2)f"(x) かつ
Pn(x)=｢f(x)におけるx^nの係数｣であることを示しなさい。

(2) ある定数cがあって、f(x+y)-f(x)=y*f(x+cy) を満たすとき、
f(x)の次数は２次以下であることを示しなさい。

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■16262 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 微分の応用問題なんですけど

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□投稿者/ KINO 一般人(10回)-(2006/08/18(Fri) 21:00:28)

(1) P_0(x)=f(x) は，f の定義式において y=0 とおけばただちに得られます。
残りの等式は，f(x+y) を，x はただの定数を表す文字だと思って両辺を y で微分し，その結果に y=0 を代入すれば得られます。
例えば，P_1(x)=f'(x) を求めるためには，u=x+y とおいて合成関数の微分により
df(x+y)/dy=(df(u)/du)*(du/dy)=f'(u)*1=f'(x+y)
となり，右辺は P_1(x)+2P_2(x)*x+...+nP_n(x)y^(n-1) となりますので，
両辺に y=0 を代入すれば得られます。
両辺を y について 2 回微分した式において y=0 を代入すれば，f''(x)=2P_2(x) が得られます。

また，f(x)=a_0+a_1 x+...+a_n x^n とおくと，x に x+y を代入したとき，y^n がどこから出てくるかと言えば，a_n (x+y)^n の項からしか出てきません。
そして (x+y)^n を2項定理で展開すると，y^n の係数が 1 ですから，a_n (x+y)^n を展開したときの y^n の係数は a_n となります。

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■16264 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 微分の応用問題なんですけど

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□投稿者/ KINO 一般人(11回)-(2006/08/18(Fri) 21:12:41)

(2) 何か勘違いしているかもしれませんが，

> (2) ある定数cがあって、f(x+y)-f(x)=y*f(x+cy) を満たすとき、

両辺に x=0 を代入すると，f(y)-f(0)=y*f(cy) となります。
f(y) は y の n 次多項式ですから，f(y)-f(0) の次数は n で，
c≠0 ならば f(cy) も y の n 次多項式ですから，y*f(cy) の次数は n+1 になります。これは矛盾です。
よって「ある定数 c」とは 0 でなければなりません。
そうすると，f(x+y)-f(x)=y*f(x) となり，やはり x=0 を代入すると f(y)=f(0)y+f(0) となります。これは f(y) が y の1次式になることを意味しています。ただし，f(0)=0 のときは f(y)=0 となり，0 次式（といってよいのかな？）になります。
以上より，f(x) は x の1次以下の整式である，という結論になります。

もしかしたら，右辺は y*f'(x+cy) なのかな？

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■16270 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 微分の応用問題なんですけど

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□投稿者/ KINO 一般人(13回)-(2006/08/18(Fri) 21:37:01)

無駄かもしれませんが念のため。

(2) $2$f(x+y)-f(x)=yf'(x+cy)$ という等式が成り立っているとします。
このとき，両辺を y が変数だと思って微分すると $2$f'(x+y)=f'(x+cy)+cyf''(x+cy)$ となります。

c=1 のとき，この式は $2$yf''(x+cy)=0$ となり， $2$f''(x+cy)$ も多項式ですから，これより $2$f''(x)=0$ でなければならないことがわかります。よって $2$f'(x)$ は定数で，したがって $2$f(x)$ は1次関数です。

c≠1 のとき，任意の実数 z に対し，z=x+y，0=x+cy をみたすような x, y をとることができます。実際，この連立方程式を解くと $2$x=-\frac{c}{1-c}z$ ， $2$y=\frac{z}{1-c}$ となります。
よって $2$f'(z)=f'(0)+\frac{cf''(0)}{1-c}z$ となり， $2$f'(z)$ は $2$cf''(0)=0$ のときは定数 $2$f'(0)$ に等しく， $2$cf''(0)\ne 0$ のときは $2$z$ の1次関数になることがわかります。いずれの場合も $2$f(z)$ は2次以下の整式になります。

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■16288 / inTopicNo.5)

　Re[2]: 微分の応用問題なんですけど

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□投稿者/ Tom 一般人(3回)-(2006/08/18(Fri) 22:52:44)

2006/08/18(Fri) 23:03:48 編集(投稿者)
2006/08/18(Fri) 23:02:38 編集(投稿者)

> もしかしたら，右辺は y*f'(x+cy) なのかな？

ほんとに申し訳ありません。あなたのおっしゃるとおり右辺は y*f'(x+cy) でした。
納得しました。ありがとうございます。（≧∀≦）

解決済み!

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■16291 / inTopicNo.6)

　Re[1]: 微分の応用問題なんですけど

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□投稿者/ 青海一般人(24回)-(2006/08/18(Fri) 23:39:00)

2006/08/19(Sat) 02:14:39 編集(投稿者)

■No16254に返信(Tomさんの記事)
> ちょっと難しすぎるので詳しい解説をお願いします。
>
> 問
> f(x)はxに関するn次の整式(多項式)とする。(n≧0)
> (1) 2変数x,yの整式として
> 　　　f(x+y)=Po(x)+P1(x)*y+P2(X)*y^2+ ････ +Pn(x)*y^n
> と書き表す。ただし、Pi(x)(i=0,1,2,･･･,n)はxに関する整式である。
> （注：Pの横の数字(i)は数列みたいに右下に書く小さい数字です）
> このとき、Po(x)=f(x),P1(x)=f'(x),P2(x)=(1/2)f"(x) かつ
> Pn(x)=｢f(x)におけるx^nの係数｣であることを示しなさい。

$2$f(x) = \sum\limits_{k = 0}^n {a_k x^k}$ とすると、

$2$f'(x) = \sum\limits_{k = 1}^n {a_k k x^{\left(k-1 \right)}}$ $2$f''(x) = \sum\limits_{k = 2}^n {a_k k(k-1) x^{\left(k-2 \right)}}$

一般に

$2$f^{\left(m \right)}(x) = \sum\limits_{k = m}^n {_kP_m a_k x^{\left(k-m \right)}}$ ：f(x)の m 回微分

$2$f(x+y) = \sum\limits_{k = 0}^n {a_k \left(x+y \right)^k}$

$2$= \sum\limits_{k = 0}^n {a_k \sum\limits_{l = 0}^k{_nC_l x^l y^{\left(k-l \right)}}}$

= (y^0の項) + (y^1の項) + (y^2の項) + … + (y^nの項) に分解すると、

$2$= \sum\limits_{k = 0}^n {a_k x^k} + y \sum\limits_{k = 1}^n {a_k _kC_{\left(k-1 \right)} x^{\left(k-1 \right)}} + y^2 \sum\limits_{k = 2}^n {a_k _kC_{\left(k-2 \right)} x^{\left(k-2 \right)}} +$ … $2$+ y^n \sum\limits_{k = n}^n {a_k _kC_{\left(k-n \right)} x^{\left(k-n \right)}}$

$2$= \sum\limits_{k = 0}^n {a_k x^k} + y \sum\limits_{k = 1}^n {a_k k x^{\left(k-1 \right)}} + \frac{1}{2} y^2 \sum\limits_{k = 2}^n {a_k k(k-1) x^{\left(k-2 \right)}} +$ … $2$+ a_n y^n$

$2$= f(x) + f'(x)y + \frac{1}{2}f''(x)y^2 +$ … $2$+ \frac{1}{m!} f^{\left(m \right)}(x) y^m +$ … $2$+a_n y^n$

よって、

$2$P_0(x) = f(x)$ 　 $2$P_1(x) = f'(x)$ 　 $2$P_2(x) = \frac{1}{2}f''(x)$ 　 $2$P_n(x) = a_n$

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