数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[5]: 数列 / Page: 0]

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■15808 / inTopicNo.1)

　数列

□投稿者/ 崇一般人(3回)-(2006/08/08(Tue) 16:55:22)

2006/08/08(Tue) 21:18:53 編集(投稿者)
2006/08/08(Tue) 21:18:48 編集(投稿者)

2,4,14,40,122･･･と続く数列がある。この数列に関して次の問いに答えよ
問この数列を1番目から順に $2$a_1$ , $2$a_2$ , $2$a_3$ , $2$a_4$ ･･･とおくとき
(1) $2$a_3$ を $2$a_1$ $2$a_2$ を使ってあらわせ
(2) $2$a_4$ を $2$a_2$ $2$a_3$ を使ってあらわせ
(3) $2$a_{n+2}$ を $2$a_n$ $2$a_{n+1}$ を使って予想せよ
(4)(3)の予想が正しいことを数学的帰納法を使って示せ.

この問題なんですが、私は $2$a_{n+2}$ = $2$2a_{n+1}$ + $2$3a_n$ と予想したんですが、帰納法での証明が上手く出来ません。どなたか教えてください。

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■15812 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数列

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□投稿者/ miyup 大御所(558回)-(2006/08/08(Tue) 18:20:39)

2006/08/08(Tue) 18:21:25 編集(投稿者)

■No15808に返信(崇さんの記事)
> 2,4,14,40,122･･･ $2$\frac{3^n+(-1)^n}{{2}}$ , $2$\frac{3^{n+1}+(-1)^{n+1}}{{2}}$ , $2$\frac{3^{n+2}+(-1)^{n+2}}{{2}}$ と続く数列がある。この数列に関して次の問いに答えよ
> 問この数列を1番目から順に $2$a_1$ , $2$a_2$ , $2$a_3$ , $2$a_4$ ･･･とおくとき
> (1) $2$a_3$ を $2$a_1$ $2$a_2$ を使ってあらわせ
> (2) $2$a_4$ を $2$a_2$ $2$a_3$ を使ってあらわせ
> (3) $2$a_{n+2}$ を $2$a_n$ $2$a_{n+1}$ を使って予想せよ
> (4)(3)の予想が正しいことを数学的帰納法を使って示せ.
>
> この問題なんですが、私は $2$a_{n+2}$ = $2$2a_{n+1}$ + $2$3a_n$ と予想したんですが、帰納法での証明が上手く出来ません。どなたか教えてください。

ちょっと疑問なんですが、一般項は最初から $2$a_n=\frac{3^n+(-1)^n}{{2}}$ とわかっているのですか？

一般項がわかっているのなら、 $2$a_{n+2}$ = $2$2a_{n+1}$ + $2$3a_n$ は右辺を整理するだけで左辺になるので、数学的帰納法は必要ないと思うのですが。

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■15825 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 数列

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□投稿者/ 崇一般人(4回)-(2006/08/08(Tue) 21:18:15)

あ、すみません。
最後の3つは答えから分かった部分を付け足してしまったものです。
質問する時に間違えていました。
訂正します。

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■15830 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 数列

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□投稿者/ だるまにおん大御所(1496回)-(2006/08/08(Tue) 21:30:43)

横レス、横の話題ですみません。

(1),(2)って無数に答えがありますよね…？
その答えのうちのどれを書いても丸がもらえるのでしょうか？

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■15832 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 数列

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□投稿者/ miyup 大御所(561回)-(2006/08/08(Tue) 21:46:56)

2006/08/08(Tue) 22:11:44 編集(投稿者)

■No15830に返信(だるまにおんさんの記事)
> 横レス、横の話題ですみません。
>
> (1),(2)って無数に答えがありますよね…？
> その答えのうちのどれを書いても丸がもらえるのでしょうか？

いいんじゃないでしょうか。

たぶん一番簡単なのは、a[3]=pa[2]+qa[1]、a[4]=pa[3]+qa[2] の連立で、p=2,q=3 から a[n+2]=2a[n+1]+3a[n] と予測する方法でしょうか。

あとはこの漸化式から一般項 a[n] を求めて（ここまでは予測）、数学的帰納法で証明するという方向でいくのかな？

あやふやですいません。ちなみに $2$a_n=\frac{3^n-(-1)^n}{2}$ です。

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■15835 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 数列

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□投稿者/ だるまにおん大御所(1498回)-(2006/08/08(Tue) 22:20:53)

コメントありがとうございます。不可思議な問題ですね…。

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■15836 / inTopicNo.7)

　Re[5]: 数列

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□投稿者/ miyup 大御所(563回)-(2006/08/08(Tue) 22:43:48)

■No15835に返信(だるまにおんさんの記事)
> コメントありがとうございます。不可思議な問題ですね…。

３項間の漸化式の形が、a[n+2]=p a[n+1]+q a[n] であるという前提ならば、(1)(2)をヒントに(3)を…は自然ですね。
出典が古いのかもしれません。

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