数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 三角関数　できれば今日中に＞＜ / Page: 0]

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■15504 / inTopicNo.1)

　三角関数　できれば今日中に＞＜

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□投稿者/ φ 一般人(1回)-(2006/08/03(Thu) 21:25:46)

０≦θ＜２πで、三点Ｐ(cosθ,sinθ)、Ｑ(cos2θ,sin2θ)、Ｒ(cos4θ,sin4θ)のとき、(ＰＱ)^2＋(ＱＲ)^2がとる値の範囲を求めよ。

なのですが・・・。
最小は０で自明なのですが、最大がわかりません。

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■15508 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 三角関数　できれば今日中に＞＜

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□投稿者/ 青海一般人(6回)-(2006/08/03(Thu) 23:24:15)

2006/08/03(Thu) 23:25:51 編集(投稿者)

■No15504に返信(φさんの記事)
> ０≦θ＜２πで、三点Ｐ(cosθ,sinθ)、Ｑ(cos2θ,sin2θ)、Ｒ(cos4θ,sin4θ)のとき、(ＰＱ)^2＋(ＱＲ)^2がとる値の範囲を求めよ。
> なのですが・・・。
> 最小は０で自明なのですが、最大がわかりません。

$2$(PQ)^2 + (QR)^2$

$2$= \left{(\cos {\theta } - \cos {2\theta })^2 + (\sin {\theta } - \sin {2\theta })^2\right} + \left{(\cos {2\theta } - \cos {4\theta })^2 + (\sin {2\theta } - \sin {4\theta })^2\right}$

$2$= 4 - 2\cos {\theta }\cos {2\theta } - 2\sin {\theta }\sin {2\theta } - 2\cos {2\theta }\cos {4\theta } - 2\sin {2\theta }\sin {4\theta }$

$2$ \left[ {\begin{array} \cos {\alpha}\cos {\beta} = \frac{1}{2} \left{ \cos {\left( \alpha + \beta \right)} + \cos {\left( \alpha - \beta \right)} \right} \\ \sin {\alpha}\sin {\beta} = \frac{1}{2} \left{ \cos {\left( \alpha + \beta \right)} - \cos {\left( \alpha - \beta \right)} \right} \\ \end{array}} \right]$ より、

$2$= 4 - 2 \cdot \frac{1}{2}(\cos {3\theta } + \cos {\theta }) + 2 \cdot \frac{1}{2}(\cos {3\theta } - \cos {\theta }) - 2 \cdot \frac{1}{2}(\cos {6\theta } + \cos {2\theta }) + 2 \cdot \frac{1}{2}(\cos {6\theta } - \cos {2\theta })$

$2$= 4 - 2\cos {\theta } - 2\cos {2\theta }$

$2$= 4 - 2\cos {\theta } - 2(2\cos ^2{\theta } - 1)$

$2$= -4\cos ^2{\theta } - 2\cos {\theta } + 6$

$2$= -4(\cos {\theta } - 1)(\cos {\theta } + \frac{3}{2})$

$2$= -4(\cos {\theta } + \frac{1}{4})^2 + \frac{25}{4}$

-1 ≦ cosθ≦ 1 より、

$2$\cos \theta = 1$ の時最小値 0
$2$\cos \theta = - \frac{1}{4}$ の時最大値 $2$\frac{25}{4}$

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■15509 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 三角関数　できれば今日中に＞＜

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□投稿者/ miyup 大御所(523回)-(2006/08/03(Thu) 23:29:27)

■No15504に返信(φさんの記事)
> ０≦θ＜２πで、三点Ｐ(cosθ,sinθ)、Ｑ(cos2θ,sin2θ)、Ｒ(cos4θ,sin4θ)のとき、(ＰＱ)^2＋(ＱＲ)^2がとる値の範囲を求めよ。
>
>
> なのですが・・・。
> 最小は０で自明なのですが、最大がわかりません。

３点Ｐ、Ｑ、Ｒは原点Ｏ中心、半径１の円周上にあります。
∠ＱＯＰ＝２θ－θ＝θ、∠ＲＯＱ＝４θ－２θ＝２θで、△ＰＯＱ、△ＱＯＲについての余弦定理より
PQ^2+QR^2
=2-2cosθ+2-2cos2θ
=2-2cosθ+2-2(2cos^2θ-1)
=-4cos^2θ-2cosθ+6
=-4(cosθ+1/4)^2+25/4
0≦θ＜2πより、-1≦cosθ≦1　よって、最大値 25/4　最小値 0

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