 | ■No1528に返信(けーすけ＠高２さんの記事)
> こんにちは、学校でもらった課題で
> どうしても解けない問題があるので、質問をさせてください。
>
> 問題>>円x^2+y^2=50・・(ア)と直線3x-y=10の交点をA,Bとする。
> 但し、点Aのx座標は点Bのx座標より大きいものとする。
> この条件において、以下の問題を求めよ。
>
> (1)線分AB上の点Pを中心とする半径2√2の円の周をKとする。
> また(ア)の周及び内部をCとする。KがCに含まれる時、
> 点P のx座標tのとりうる値の範囲を求めよ
> (2)(1)の点Pのx座標tが(1)で求めた範囲を動く時、
> Kが通過する領域をDとする。Dの面積を求めよ。
>
>
> というものです。
> ちなみに、点A,Bはもとめることができまして
> A(5,5),B(1,-7)です。
>
> よろしくお願いします。
>
>
>
(1)
まず条件とA(5,5),B(1,-7)により
P(t,3t-10) ①
(但し1≦t≦5)
と置くことができます。
一方、Cが円Kを内部に含むので
OP+2√2≦√50 ②
①②より
√{t^2+(3t-10)^2}≦3√2
∴t^2+(3t-10)^2≦18
∴10t^2-60t+82≦0
∴5t^2-30t+41≦0
∴3-2/√5≦t≦3+2/√5
①のtの条件との共通範囲を考えて求めるtの範囲は
3-2/√5≦t≦3+2/√5
(2)
点Pが動く範囲の長さlをとすると、(1)の結果より
l=√{{(3+2/√5)-(3-2/√5)}^2+{{3(3+2/√5)-10}-{3(3-2/√5)-10}}^2}
=√{(4/√5)^2+(12/√5)^2}
=4√2
よって円Kの半径をrとすると求める面積Sは
S=πr^2+2lr=π(2√2)^2+2(4√2)(2√2)=8π+32
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