数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 教えていただきたいです / Page: 0]

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■14424 / inTopicNo.1)

　教えていただきたいです

□投稿者/ kennti 一般人(1回)-(2006/07/08(Sat) 10:19:15)

2006/07/08(Sat) 10:19:43 編集(投稿者)

$2$x^2+y^2=36$ で表される円Oに半径1の円Pが点 $2$A(6,0)$ で内接しています。
このとき点Aと重なっている円Pの周上の点をQとします。この状態から円Pは円Oに
内接しながら円Oにの周上にそってすべることなくx軸と正の角度をなす方向に回転
していきます。ある程度転がっていき、円Pが円Oの周上を回転したときの円Pと円Oとの接点をRとし、弧ARの長さを $2$\theta$ とします。このとき点Qは当然円Pの周上において負の方向へ回転していきます。

(1)点Qの座標を $2$\theta$ を用いて表せ、なんですが、なぜ∠AOPが $2$\frac{\theta}{6}$ となるのでしょうか？ここから解法を教えていただきたいです。
(2) $2$\theta$ が0≦θ≦πの範囲を動くとき、点Qが動く軌跡の長さを求めよ。
曲線の長さが→ $2$\displaystyle \displaystyle\int_0^{\pi}{\sqrt{(\frac{dx}{d\theta})^2+(\frac{dy}{d\theta})^2}}d\theta$ となるのがわかりません。
どうぞよろしくお願いいたします。

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■14429 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 教えていただきたいです

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□投稿者/ miyup 大御所(404回)-(2006/07/08(Sat) 12:47:59)

2006/07/08(Sat) 12:48:40 編集(投稿者)

■No14424に返信(kenntiさんの記事)
> (1)点Qの座標を $2$\theta$ を用いて表せ、なんですが、なぜ∠AOPが $2$\frac{\theta}{6}$ となるのでしょうか？ここから解法を教えていただきたいです。

半径１の円では、円弧の長さ＝中心角（弧度法）です。
この問題の円は半径６なので、円弧の長さ＝中心角×６　です。

> (2) $2$\theta$ が0≦θ≦πの範囲を動くとき、点Qが動く軌跡の長さを求めよ。
> 曲線の長さが→ $2$\displaystyle \displaystyle\int_0^{\pi}{\sqrt{(\frac{dx}{d\theta})^2+(\frac{dy}{d\theta})^2}}d\theta$ となるのがわかりません。

数Ⅲの教科書（参考書）に、曲線の長さを定積分で求める　という項目がありますので、まずそちらを参照して下さい。

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■14434 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 教えていただきたいです

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□投稿者/ miyup 大御所(407回)-(2006/07/08(Sat) 16:29:31)

■No14429に返信(miyupさんの記事)
> 2006/07/08(Sat) 12:48:40 編集(投稿者)
>
> ■No14424に返信(kenntiさんの記事)
>>(1)点Qの座標を $2$\theta$ を用いて表せ、なんですが、なぜ∠AOPが $2$\frac{\theta}{6}$ となるのでしょうか？ここから解法を教えていただきたいです。
>
> 半径１の円では、円弧の長さ＝中心角（弧度法）です。
> この問題の円は半径６なので、円弧の長さ＝中心角×６　です。

円Ｐがほんの少しだけ転がった図を書いて下さい。∠ＡＯＲ＝∠ＡＯＰ＝θ/6 ですね。点Ｑは直線ＰＲから下方にθだけ回転した円Ｐの周上にあります。
点Ｐからｘ軸に平行な直線①を引いて、点Ｑから直線①に垂線を上げて、その足をＨとおくと、直角三角形ＰＨＱができます。
点Ｐの座標は、ＯＰ＝５、中心角θ/6 より、 $2$P(5\cos \frac{\theta}{6},5\sin \frac{\theta}{6})$ となります。
直線①からみれば∠ＱＰＨ= $2$-\frac{5}{6}\theta$ なので、点Ｐから点Ｑへはｘ軸方向へ $2$\cos (-\frac{5}{6}\theta)$ 、ｙ軸方向へ $2$\sin (-\frac{5}{6}\theta)$ だけ平行移動したと考えて、
点Ｑの座標は、 $2$Q(5\cos \frac{\theta}{6}+\cos (-\frac{5}{6}\theta),5\sin \frac{\theta}{6}+\sin (-\frac{5}{6}\theta))$ となります。

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■14445 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 教えていただきたいです

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□投稿者/ kennti 一般人(4回)-(2006/07/09(Sun) 06:32:34)

■No14429に返信(miyupさんの記事)
> 2006/07/08(Sat) 12:48:40 編集(投稿者)
>
> ■No14424に返信(kenntiさんの記事)
>>(1)点Qの座標を $2$\theta$ を用いて表せ、なんですが、なぜ∠AOPが $2$\frac{\theta}{6}$ となるのでしょうか？ここから解法を教えていただきたいです。
>
> 半径１の円では、円弧の長さ＝中心角（弧度法）です。
> この問題の円は半径６なので、円弧の長さ＝中心角×６　です。
>
>>(2) $2$\theta$ が0≦θ≦πの範囲を動くとき、点Qが動く軌跡の長さを求めよ。
>>曲線の長さが→ $2$\displaystyle \displaystyle\int_0^{\pi}{\sqrt{(\frac{dx}{d\theta})^2+(\frac{dy}{d\theta})^2}}d\theta$ となるのがわかりません。
>
> 数Ⅲの教科書（参考書）に、曲線の長さを定積分で求める　という項目がありますので、まずそちらを参照して下さい。
いや、 $2$\displaystyle \displaystyle\int_0^{\pi}{\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}}dx$
わ知っているんですけど、 $2$\theta$ が媒介するとなぜああなるのかが
わからないのです。

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■14448 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 教えていただきたいです

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□投稿者/ miyup 大御所(408回)-(2006/07/09(Sun) 11:44:47)

2006/07/09(Sun) 13:14:41 編集(投稿者)

■No14445に返信(kenntiさんの記事)

> いや、 $2$\displaystyle \displaystyle\int_0^{\pi}{\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}}dx$
> わ知っているんですけど、 $2$\theta$ が媒介するとなぜああなるのかが
> わからないのです。

元の曲線の式が、 $2$\theta$ を使って $2$x=f(\theta),\;y=g(\theta)$ で表されているとき

$2$\theta=\theta_1$ から $2$\theta_2$ までの曲線の長さを $2$s$ 、 $2$s,\theta$ の増分を $2$\Delta s,\Delta\theta$ とおいて

曲線上の２点 $2$P(f(\theta),g(\theta)),Q(f(\theta+\Delta\theta),g(\theta+\Delta\theta))$ について

$2$x,y$ の増分を $2$\Delta x=f(\theta+\Delta\theta)-f(\theta),\Delta y=g(\theta+\Delta\theta)-g(\theta)$ とおくと

ＰＱ間の曲線の長さは、 $2$\Delta\theta$ が十分に小さいとき、ほぼ $2$\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ に等しい。すなわち $2$\Delta s$ ≒ $2$\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ 。

このとき、 $2$\frac{\Delta s}{\Delta\theta}$ ≒ $2$\sqrt{(\frac{\Delta x}{\Delta\theta})^2+(\frac{\Delta y}{\Delta\theta})^2}$ で、 $2$\Delta\theta\to 0$ とすると、 $2$\frac{ds}{d\theta}=\sqrt{(\frac{dx}{d\theta})^2+(\frac{dy}{d\theta})^2}$ となり

曲線の長さは、 $2$s=\displaystyle\int_{\theta_1}^{\theta_2}\sqrt{(\frac{dx}{d\theta})^2+(\frac{dy}{d\theta})^2}d\theta$ となる。

ここで、 $2$x=\theta,y=f(\theta)$ とおくと、 $2$s=\displaystyle\int_{\theta_1}^{\theta_2}{\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}}dx$ になる。

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