 | 横から失礼します．
まず，対称性に関して，
極形式で方程式がr=f(θ)であらわされたとき，
f(θ)=f(-θ)であればx軸に対称
f(θ)=f(π-θ)であればy軸に対称という事になります．
（図を描いて確かめてください）
今回r=±a√(2cos(2θ))となります．
r<0に関してはr=f(θ+π)，つまり原点に関して対称に取るという
約束がありますが，明らかにπは周期になっていますから
r≧0の場合を考えれば十分です．
r=a√(2cos(2θ))は上の二つの対称条件を満たしていますから，
第一象限の面積を求めてそれを4倍すればよいことになります．
0≦θ＜π/2で考えたときcos(2θ)≧0なのは0≦θ≦π/4の場合のみで，
π/4＜θ＜π/2のときはcos(2θ)＜0となりrは存在しないことになります．
半径rで微小角dθの弧の面積はdS=(r^2/2)dθですから，
S=4∫[θ：0→π/4] (r^2/2)dθ=2a^2
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