数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[8]: 複素数です / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ2 を表示中)

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■13974 / inTopicNo.1)

　複素数です

□投稿者/ サンダーボルド一般人(39回)-(2006/06/25(Sun) 17:30:28)

oを原点とする複素数平面上で、0でない異なる2つの複素数α,βを表す点を
それぞれA,Bとする。α,βが次の等式を満たすとき、三角形OABはどのような
三角形か。
(1)3α^3 +β^2=0

問題の解き方も分からないんですが
途中式、(√3)α±iβ=0　これを次で　
β=±(√3)i*α=0と変化しているのもわかりません。
普通に計算したらβ={±(√3)α}/i=0じゃないでしょうか？

(2)α^(2)-αβ+β^(2)=0

これも解き方が分かりません。

おねがいします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■13976 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 複素数です

▲▼■

□投稿者/ laki 一般人(15回)-(2006/06/25(Sun) 17:51:46)

> (1)3α^3 +β^2=0

↑3α^2+β^2のタイプミスと見なして説明すると、
(√3)α±iβ=0　これを次で　
β=±(√3)α/iは分母分子にi/iをかけて有理化しています。
複素数は分母に虚数があると複素平面上のどこに位置してるか
わかりずらいので普通は分母に虚数があるのを
避けます。

> (2)α^(2)-αβ+β^(2)=0
>
解法はいくつかありますが、
∠AOBの角度(arg(β/α)を求めるようにすると、
解りやすいです。

与式をα^2で割って、
(β/α)^2-(β/α)+1=0
二次方程式を解いて、
β/α=(1±√3i)/2
∴arg(β/α)=±π/3

この方法は(1)でも使えます。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■13978 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 複素数です

▲▼■

□投稿者/ laki 一般人(17回)-(2006/06/25(Sun) 18:03:58)

上に追加です。

β/α=(1±√3i)/2
∴arg(β/α)=±π/3、lβ/αl=1
よって、⊿OABは正三角形

(1)なら、与式をα^2で割って、
β/α=±√3i
∴arg(β/α)=±π/2、lβ/αl=√3

⊿OABはOA:OB:AB=1:1√3:2の直角三角形

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■14319 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 複素数です

▲▼■

□投稿者/ サンダーボルト一般人(8回)-(2006/07/04(Tue) 13:35:53)

ありがとうございました
返事が遅れてすみません。

(1)でまだ分からないんですが
3α^2 +β^2=0
これを計算して
{(√3)α+iβ}{(√3)α-iβ}=0
となります。
次に何故か(√3)α±iβとなります。ここはどういう変化があったのでしょうか？
そして、この三角形がどのような三角形になるか
うまくイメージすることができません。
なにかイメージするときのコツはないでしょうか？

(2)は分かりました。
自分で解くと間違えそうだけど・・。
ありがとうございました！
あと(1)のほう、おねがいします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■14331 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 複素数です

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(379回)-(2006/07/05(Wed) 00:01:03)

2006/07/05(Wed) 00:03:50 編集(投稿者)

■No14319に返信(サンダーボルトさんの記事)
> (1)でまだ分からないんですが
> 3α^2 +β^2=0
> これを計算して
> {(√3)α+iβ}{(√3)α-iβ}=0
> となります。
> 次に何故か(√3)α±iβとなります。ここはどういう変化があったのでしょうか？
> そして、この三角形がどのような三角形になるか
> うまくイメージすることができません。
> なにかイメージするときのコツはないでしょうか？

$2$3\alpha^2+\beta^2=0$ より $2$3+$\frac{\beta}{\alpha}$^2=0$ $2$$\frac{\beta}{\alpha}$^2=-3$ よって、 $2$\frac{\beta}{\alpha}=\pm\sqrt{3}i=\sqrt{3}\{\cos (\pm 90^{\circ})+i\sin (\pm 90^{\circ})\}$

これは、∠ＡＯＢ＝９０°、ＯＢ／ＯＡ＝√３／１　を表す。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■14367 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 複素数です

▲▼■

□投稿者/ サンダーボルト一般人(12回)-(2006/07/06(Thu) 19:04:08)

ありがとうございました。

> {(√3)α+iβ}{(√3)α-iβ}=0
> となり
> (√3)α±iβとなります。

{(√3)α+iβ}{(√3)α-iβ}=0
この上の式から
(√3)α±iβとなる計算過程も教えてもらえないでしょうか。
それとも教科書で{(√3)α+iβ}{(√3)α-iβ}=0から(√3)α±iβ=0となっているように
見える展開は錯覚で3+(β^2/α^2)=0のやり方でしかこの問題は解けないんでしょうか？

それとまだ疑問がありまして

＞∠ＡＯＢ＝９０°、ＯＢ／ＯＡ＝√３／１
と式からすぐ分かるのが、私にはまだ理解できません。
βが分子でαが分母だから∠Ｏが90°とかで分かるんでしょうか？
∠AOBが90°なのか∠OABが90°なのか∠ABOが90°なのか
式から分からないんですが、どこからこういう情報をよみとっているんでしょうか？
OB=√3,OA=1というのもよく分かりません。
OAの長さが式から√3倍されたというのは分かるんですが
どうして√3倍されたら1になると分かるんでしょうか？
OBも√3である、とはどこから分かるんでしょうか？

質問部分が長くてすみません。
おねがいします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■14371 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 複素数です

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(387回)-(2006/07/06(Thu) 19:48:16)

{(√3)α+iβ}{(√3)α-iβ}=0　より

(√3)α＝±iβ　　　　　…　　＝がぬけてますね。

> それとまだ疑問がありまして
>
> ＞∠ＡＯＢ＝９０°、ＯＢ／ＯＡ＝√３／１
> と式からすぐ分かるのが、私にはまだ理解できません。
> βが分子でαが分母だから∠Ｏが90°とかで分かるんでしょうか？

$2$\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\beta-0}{\alpha-0}$ で、この分数は３点０、α、β について、∠α０βを表す形であるということです。

すなわち、 $2$O(0),A(\alpha),B(\beta)$ 　 $2$\frac{\beta-0}{\alpha-0}=r(\cos \theta+i\sin \theta)$ とすると

∠ＡＯＢ＝ $2$\theta=\arg$\frac{\beta-0}{\alpha-0}$$ 　 $2$r=\|\frac{\beta-0}{\alpha-0}\|=\frac{|\beta-0|}{|\alpha-0|}=\frac{OB}{OA}$

を表します。

> OAの長さが式から√3倍されたというのは分かるんですが
> どうして√3倍されたら1になると分かるんでしょうか？
> OBも√3である、とはどこから分かるんでしょうか？

$2$\sqrt{3}=\frac{OB}{OA}$ より $2$OB:OA=\sqrt{3}:1$ ということです。 $2$OB=\sqrt{3}$ ではありません。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■14374 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 複素数です

▲▼■

□投稿者/ サンダーボルト一般人(13回)-(2006/07/06(Thu) 20:40:06)

ありがとうございました。
理解が遅くてすみません。

＞{(√3)α+iβ}{(√3)α-iβ}=0　より
＞(√3)α＝±iβ　　　　　…　　＝がぬけてますね。

この上の式はどういうことでしょうか？
{(√3)α+iβ}{(√3)α-iβ}=0を計算しても
3α^2 +β^2=0にしかならず、どうやって（14331で示してくださった式以外で）
(√3)α＝±iβ　にしたのか、よく分かりません。
教科書の解答では
＞教科書で{(√3)α+iβ}{(√3)α-iβ}=0から(√3)α±iβ=0となっている
のでは、なにかぬけている式があるんでしょうか？
理解が足りなくてすみません。
教えてください。

もうひとつ、rがどうして＝OB/OAになるんでしょうか？
(β-0)/(α-0)=OB/OA,r=OB/OAだから
(β-0)/(α-0)=r(cosθ+isinθ)に代入すると
OB/OA=OB/OA(cosθ+isinθ)となって左辺と右辺が等しくならないのではないでしょうか？

もう一つ（多くてすみません）
OAは1,OBは√3,ABは2,と教科書の図には書いていたのですが
これは実際の値ではなくて、比の値だったということですよね？

いろいろたずねてすみません。
教えてください。
おねがいします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■14378 / inTopicNo.9)

　Re[8]: 複素数です

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(389回)-(2006/07/06(Thu) 20:50:37)

■No14374に返信(サンダーボルトさんの記事)

> {(√3)α+iβ}{(√3)α-iβ}=0を計算しても

計算でなく、方程式と思ってください。そうすれば、(√3)α＝±iβ になっていることが理解できるでしょう。

> もうひとつ、rがどうして＝OB/OAになるんでしょうか？
> (β-0)/(α-0)=OB/OA,r=OB/OAだから

ちがいます。 $2$|\beta-0|/|\alpha-0|=OB/OA$ です。絶対値がついてます。

２点Ａ（α）、Ｂ（β）について、ＡＢ＝｜β－α｜です。

> OAは1,OBは√3,ABは2,と教科書の図には書いていたのですが
> これは実際の値ではなくて、比の値だったということですよね？

比の値です。たまたま長さと一致することもありますが。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ

過去ログには書き込み不可

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター