数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 底積分 / Page: 0]

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■13817 / inTopicNo.1)

　底積分

□投稿者/ 永遠名電一般人(7回)-(2006/06/22(Thu) 19:55:22)

詳しく教えて下さい。。

次の底積分を求めよ
①∫｛1、0｝ｘ√（1－x^2）ｄｘ
②∫｛2、1｝ (ｘ-１)/(x^2-2x+2)
③∫｛π/2,0｝ cosx/(2+sinx)ｄｘ

次の不定積分を求めよ。
①∫（ｘ^2+2ｘ）／（ｘ＾3+3ｘ＾2+１）
②∫ｃｏｓｘ／（１+ｓｉｎｘ）ｄｘ
③∫（ｅ＾ｘ-ｅ＾-ｘ）／（ｅ＾ｘ+ｅ＾-ｘ）ｄｘ

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■13822 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 底積分

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□投稿者/ だるまにおん大御所(1392回)-(2006/06/22(Thu) 20:18:13)

まず不定積分から

$2$\displaystyle \displaystyle\int\frac{x^{2}+2x}{x^{3}+3x^{2}+1}dx$

$2$=\displaystyle \frac{1}{3}\displaystyle\int\frac{3x^{2}+6x}{x^{3}+3x^{2}+1}dx$

$2$=\displaystyle \frac{1}{3}\displaystyle\int\frac{(x^{3}+3x^{2}+1)'}{x^{3}+3x^{2}+1}dx$

$2$=\displaystyle \frac{1}{3}\log |x^{3}+3x^{2}+1|+C$

$2$\displaystyle \displaystyle\int\frac{\cos x}{1+\sin x}dx$

$2$=\displaystyle \displaystyle\int\frac{(1+\sin x)'}{1+\sin x}dx$

$2$=\log (1+\sin x)+C$

$2$\displaystyle \displaystyle\int\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}dx$

$2$=\displaystyle \displaystyle\int\frac{(e^{x}+e^{-x})'}{e^{x}+e^{-x}}dx$

$2$=\log (e^{x}+e^{-x})+C$

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■13824 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 底積分

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□投稿者/ だるまにおん大御所(1393回)-(2006/06/22(Thu) 20:39:50)

次に底積分…じゃなくて定積分の問題です。
1番目の問題は置換積分でやってみました。
2番目と3番目の問題は不定積分を求めておいたので、参考にしてください。

$2$\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{~~1}x\sqrt{1-x^{2}}dx$

ここで $2$1-x^{2}=t$ と置換すると

$2$=\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{t}dt$

$2$=\displaystyle \frac{1}{3}\left[t\sqrt{t}\right]_{0}^{1}$

$2$=\displaystyle \frac{1}{3}$

$2$\displaystyle \displaystyle\int\frac{x-1}{x^{2}-2x-2}dx$

$2$=\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle\int\frac{2x-2}{x^{2}-2x-2}dx$

$2$=\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle\int\frac{(x^{2}-2x-2)'}{x^{2}-2x-2}dx$

$2$=\displaystyle \frac{1}{2}\log \left|x^{2}-2x-2\right|+C$

$2$\displaystyle \displaystyle\int\frac{\cos x}{2+\sin x}dx$

$2$=\displaystyle \displaystyle\int\frac{(2+\sin x)'}{2+\sin x}dx$

$2$=\log (2+\sin x)+C$

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■13828 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 底積分

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□投稿者/ laki 一般人(6回)-(2006/06/22(Thu) 20:57:48)

①∫x√(1-x^2)dx
=∫-1/3{(1-x^2)^3/2}'dx

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