数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[6]: 微分法の応用 / Page: 0]

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■13751 / inTopicNo.1)

　微分法の応用

□投稿者/ mina* 一般人(1回)-(2006/06/21(Wed) 19:26:22)

------------------------------------------------------------
すべての正の数xに対して,不等式√x > alog[x]が成り立つような
定数aの値を求めよ

------------------------------------------------------------

なのですが,とりあえず大小関係なので差をとって

f(x)=√x-alog[x]とおく。
f'(x)=1/(2√x)-(a/x)
　　 =(√x-2a)/2x

までしたのですが、この後の解き方がわかりません。
場合分けとかするのでしょうか？

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■13753 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 微分法の応用

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□投稿者/ X 大御所(463回)-(2006/06/21(Wed) 19:41:35)

その計算からf(x)の最小値は
f(4a^2)=2a-alog[4a^2]
となりますから…。

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■13763 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 微分法の応用

▲▼■

□投稿者/ mina* 一般人(2回)-(2006/06/21(Wed) 21:06:15)

なぜですか？いろいろ考えて見たのですが分かりません…
詳しい解法をお願いします。

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■13782 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 微分法の応用

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□投稿者/ mina* 一般人(3回)-(2006/06/21(Wed) 22:37:56)

すみません。明日までの予習の範囲なので誰か解説お願いします。

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■13783 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 微分法の応用

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□投稿者/ miyup 大御所(302回)-(2006/06/21(Wed) 22:54:48)

■No13782に返信(mina*さんの記事)
>
> すみません。明日までの予習の範囲なので誰か解説お願いします。

$2$f(x)=\sqrt{x}-a\log x$ 　→定義域は $2$x>0$

$2$f'(x)=\frac{\sqrt{x}-2a}{2x}$

i) $2$a<0$ のとき $2$f(x)=\sqrt{x}+|a|\log x$ で、 $2$x\to +0$ のとき $2$f(x)\to -\infty$ ∴不適

ii) $2$a=0$ のとき $2$f(x)=\sqrt{x}$ で、常に $2$f(x)>0$

iii) $2$a>0$ のとき $2$f'(4a^2)=0$ で、増減表より、最小値は $2$f(4a^2)=2a-a\log 4a^2$

最小値＞０であればよいので、 $2$2a-a\log 4a^2>0$ $2$2a(1-\log 2a)>0$ $2$\log 2a<1$ よって、 $2$a<\frac{e}{2}$

i) ii) iii) より、 $2$0\leq a <\frac{e}{2}$

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■13991 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 微分法の応用

▲▼■

□投稿者/ mina* 一般人(4回)-(2006/06/25(Sun) 21:19:11)

自分なりに解答かきました。
しかしまだ内容がよくわかってません・・・

正確な解答に仕上げたいので添削お願いします。

-----------------------------------------------------

定義域はx>0
√x-alogx>0…①

f'(x)=(1/2)x^(-1/2)-a･1/x
=√x - 2a/2x (>0)

(i) a>0のとき
f'(x)の解はx=4a^2

---増減表--------------
x　　　| 0 |…|4a^2|…
f'(x)　| / |－| 0 |+
f(x) | / |↓|極小|↑
----------------------

増減表より
f(4a^2)=√(4a^2)-alog4a^2
=2a-a-log4a^2
①より　2a-alog4a^2>0
sa(1-log2a)>0
a>0より log2a<1
a<e/2

よって(※ここらへんよくわかりません）
0<a<e/2

(ii)　a=0のとき

f(x)=√x
f'(x)=√x/2x(>0)

常にf(x)>0より①をみたす　（※ここらへんもよくわかりません）

(iii)　a<0のとき

---増減表--------------
x　　　| 0 |…|4a^2|…
f'(x)　| / |－| 0 |+
f(x) | / |↑|極大|↓
----------------------

lim[x→+0]√x-alogx=-∞
よって不適である

(i)～(iii)より　0≦a<e/2

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■13994 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 微分法の応用

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□投稿者/ miyup 大御所(320回)-(2006/06/25(Sun) 21:38:49)

2006/06/25(Sun) 21:50:42 編集(投稿者)

■No13991に返信(mina*さんの記事)

> 定義域はx>0
√x-alogx>0　について
f(x)=√x-alogx とおくと
> f'(x)=(1/2)x^(-1/2)-a･1/x
=(√x - 2a)/2x　　　　　　　(>0)を消した
>
> (i) a>0のとき
f'(x)=0の解はx=4a^2
>
> ---増減表--------------
> x　　　| 0 |…|4a^2|…
> f'(x)　| / |－| 0 |+
> f(x) | / |↓|極小|↑
> ----------------------
>
>
　増減表より、最小値は
> f(4a^2)=√(4a^2)-alog4a^2
> =2a-alog4a^2
　最小値>0　となればよいので
> 2a(1-log2a)>0
> a>0より log2a<1
> a<e/2
>
よって(※ここらへんよくわかりません） <= (i) a>0のときでしたね。
> 0<a<e/2
>
> (ii)　a=0のとき
>
> f(x)=√x
> f'(x)=√x/2x(>0)
>
常にf(x)>0より①をみたす　（※ここらへんもよくわかりません） <= f(x)=√x のグラフを知っていれば、あたりまえですね。
>
> (iii)　a<0のとき
>
---増減表--------------
x　　| 0 | …
f'(x)　| / | +
f(x) | / |↑
----------------------
>
> lim[x→+0]√x-alogx=-∞
> よって不適である
>
>
> (i)～(iii)より　0≦a<e/2

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