数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[6]: 行列の連立方程式 / Page: 0]

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■13650 / inTopicNo.1)

　行列の連立方程式

□投稿者/ サンダーボルド一般人(34回)-(2006/06/19(Mon) 17:01:26)

x,yについての連立方程式[[a,1][2,3]]*[[x][y]]=a[[-y][x]]がx=y=0以外の解を持つように実数aを定めよ。

x=y=0以外の解を持つ、ということがどういうことかいまいち分からず
教科書には「逆行列が存在しないときだから」となっていますが
どうしてそういいきれるのか、難しくて、分からないです。
ここを詳しく教えてもらいたいです。
おねがいします。

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■13671 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 行列の連立方程式

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□投稿者/ miyup 大御所(284回)-(2006/06/19(Mon) 20:44:24)

2006/06/19(Mon) 20:45:53 編集(投稿者)

このような例ではどうでしょうか？

例１　 $2$$\begin{array}{cc}2&1\\2&3\end{array}$ $\begin{array}{c}x\\y\end{array}$ = $\begin{array}{c}0\\0\end{array}$$

このとき、行列式の値≠０で、これをみたす $2$x,y$ は、 $2$$\begin{array}{c}x\\y\end{array}$=$\begin{array}{c}0\\0\end{array}$$ のみ。

例２　 $2$$\begin{array}{cc}2&1\\4&2\end{array}$ $\begin{array}{c}x\\y\end{array}$ = $\begin{array}{c}0\\0\end{array}$$

このとき、行列式の値＝０で、方程式としては $2$2x+y=0$ しかないので、これをみたす $2$x,y$ は $2$$\begin{array}{c}x\\y\end{array}$=$\begin{array}{c}0\\0\end{array}$$ も含め無数に存在する。

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■13730 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 行列の連立方程式

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□投稿者/ サンダーボルト一般人(4回)-(2006/06/21(Wed) 14:41:51)

ありがとうございました
x=y=0の場合は答えは一つしかなくて
X=y=?の場合は答えは無数に存在する、ということでしょうか？
0の場合は逆行列はなくて、？の場合は答えは無数に存在する。
ということは？の場合は答えを出せないです。無数に存在するんだから。
あれ？でもx=y=0以外のときにも逆行列が存在しないのは何故なんでしょうか？
おかしいな。まだよく分かっていないみたいです。
もう少し教えてもらえないでしょうか？
おねがいします。

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■13736 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 行列の連立方程式

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□投稿者/ miyup 大御所(292回)-(2006/06/21(Wed) 17:29:58)

2006/06/21(Wed) 17:31:12 編集(投稿者)
■No13671に返信(miyupさんの記事)
> 2006/06/19(Mon) 20:45:53 編集(投稿者)
>
> 例１　 $2$$\begin{array}{cc}2&1\\2&3\end{array}$ $\begin{array}{c}x\\y\end{array}$ = $\begin{array}{c}0\\0\end{array}$$
>
> このとき、行列式の値≠０で、これをみたす $2$x,y$ は、 $2$$\begin{array}{c}x\\y\end{array}$=$\begin{array}{c}0\\0\end{array}$$ のみ。

元は、連立方程式 $2$\left{\begin{array}{l}2x+y=0\\2x+3y=0\end{array}\right.$ のことで、解は $2$x=0,\;y=0$ のみ。

> 例２　 $2$$\begin{array}{cc}2&1\\4&2\end{array}$ $\begin{array}{c}x\\y\end{array}$ = $\begin{array}{c}0\\0\end{array}$$
>
> このとき、行列式の値＝０で、方程式としては $2$2x+y=0$ しかないので、これをみたす $2$x,y$ は $2$$\begin{array}{c}x\\y\end{array}$=$\begin{array}{c}0\\0\end{array}$$ も含め無数に存在する。

元は、連立方程式 $2$\left{\begin{array}{l}2x+y=0\\4x+2y=0\end{array}\right.$ のことで、解は $2$x=0,\;y=0$ も含め無数にある。

通常、２元１次連立方程式の解は１組しかありませんね。例１の場合は、解は $2$x=0,\;y=0$ のみです。（この解は「自明な解」といいます＝当たり前ということ）

ところが例２は、この「自明な解」以外にも無数に解を持ちます。なぜこのようなこと（本来１組しかないはずの答えがたくさんある）が起こったか？

その理由は、与えられた行列がどのような行列かを考えることからでてきます。

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■14318 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 行列の連立方程式

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□投稿者/ サンダーボルト一般人(7回)-(2006/07/04(Tue) 13:20:47)

ありがとうございました。
逆行列が存在するときは、答えは一つで
存在しないときは答えは無数、ということでしょうか？
＞x,yについての連立方程式[[a,1][2,3]]*[[x][y]]=a[[-y][x]]がx=y=0以外の解を＞持つように実数aを定めよ。
この問題のときはどのように考えればいいのでしょうか？
まだいまいち分かっておりません。すみません。
教えてください。おねがいします。

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■14323 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 行列の連立方程式

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□投稿者/ miyup 大御所(376回)-(2006/07/04(Tue) 18:10:58)

2006/07/04(Tue) 18:11:41 編集(投稿者)

■No14318に返信(サンダーボルトさんの記事)
> ありがとうございました。
> 逆行列が存在するときは、答えは一つで
> 存在しないときは答えは無数、ということでしょうか？

$2$\left{\begin{array}{l}2x+y=0\\4x+2y=0\end{array}\right.$ の解は無数にある。

$2$\left{\begin{array}{l}2x+y=1\\4x+2y=0\end{array}\right.$ の解はない。

逆行列が存在しない行列でも、＝の右辺の数値で結果が異なります。

解答　この行列より、連立方程式 $2$\left{\begin{array}{l}ax+(1+a)y=0\$2-a)x+3y=0\end{array}\right.$ となり

$2$\(\begin{array}{cc}a&1+a\\2-a&3\end{array}$$\begin{array}{c}x\\y\end{array}$=$\begin{array}{c}0\\0\end{array}$$

と行列表示したとき、ｘ＝ｙ＝０以外の解を持つ→行列式＝０　より、

$2$3a-(1+a)(2-a)=0$ 　よって、 $2$a=-1\pm\sqrt{3}$

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■14366 / inTopicNo.7)

　Re[5]: 行列の連立方程式

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□投稿者/ サンダーボルト一般人(11回)-(2006/07/06(Thu) 18:47:37)

ありがとうございました。
＞ｘ＝ｙ＝０以外の解を持つ→行列式＝０
となっていますが
行列式＝０にした場合、解は無数に存在することになってしまうんじゃないでしょうか？　とすると、解の中に０が含まれることもありうるんじゃないでしょうか？

2x+y=0
4x+2y=0
の場合、解は無数に存在する、と書かれていて、０は含まれていないと書いていないので疑問に思いました。

それと行列式＝０、右辺の値は０の場合、解は無数に存在し、右辺にちょっと数字が入り、連立方程式を解いてもx,yの両方とも消えてしまう場合に限り、解はない、ということでしょうか？

長々と質問してすみません。
おねがいします。

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■14376 / inTopicNo.8)

　Re[6]: 行列の連立方程式

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□投稿者/ miyup 大御所(388回)-(2006/07/06(Thu) 20:43:53)

■No14366に返信(サンダーボルトさんの記事)
> ありがとうございました。
> ＞ｘ＝ｙ＝０以外の解を持つ→行列式＝０
> となっていますが
> 行列式＝０にした場合、解は無数に存在することになってしまうんじゃないでしょうか？　とすると、解の中に０が含まれることもありうるんじゃないでしょうか？

「ｘ＝ｙ＝０以外の解を持つ」は、「ｘ＝ｙ＝０以外にも解を持つ」です。表現があいまいでしたね。訂正しましょう。

> それと行列式＝０、右辺の値は０の場合、解は無数に存在し、右辺にちょっと数字が入り、連立方程式を解いてもx,yの両方とも消えてしまう場合に限り、解はない、ということでしょうか？

解なし（平行）、解が無数にある（一致）　…両方とも detA=0

解が１組　…detA≠0

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