数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 曲線、曲面 / Page: 0]

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■13569 / inTopicNo.1)

　曲線、曲面

□投稿者/ 数学質問一般人(1回)-(2006/06/18(Sun) 11:23:57)

以下の問題わかる人お願いします。

問　楕円（ｘ＾２／ａ＾２）＋（ｙ＾２／ｂ＾２）＝１上の点と２焦点の距離の和　　は一定であることを以下の方針で示せ。ただし、ａ＞ｂと仮定し、ｅ=√｛１　　－（ｂ＾２／ａ＾２）｝とおく。

　　①楕円上の点（ａｃｏｓθ、ｂｓｉｎθ）と２焦点の距離の和Ｌをａ、ｂ、ｅ、　　　θを用いて表せ。
　　②Ｌを簡単にせよ。（ヒント：Ｌ＾２の根号を外すことによってθを消去でき　　　る）。

問　　以下の曲面を求めよ。

　　　①２点（２、０、０）、（－２、０、０）からの距離の和が２Ｈである点　　　　（ｘ、ｙ、ｚ）たちのつくる曲面を求めよ。

　　　②２点（２、０、０）、（－２、０、０）からの距離の差が絶対値が２ｈで　　　　ある点（ｘ、ｙ、ｚ）たちのつくる曲面を求めよ。

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■13584 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 曲線、曲面

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□投稿者/ miyup 大御所(266回)-(2006/06/18(Sun) 18:47:43)

2006/06/18(Sun) 18:54:01 編集(投稿者)

■No13569に返信(数学質問さんの記事)
> 以下の問題わかる人お願いします。
>
>
> 問　楕円（ｘ＾２／ａ＾２）＋（ｙ＾２／ｂ＾２）＝１上の点と２焦点の距離の和　　は一定であることを以下の方針で示せ。ただし、ａ＞ｂと仮定し、ｅ=√｛１　　－（ｂ＾２／ａ＾２）｝とおく。
>
> 　　①楕円上の点（ａｃｏｓθ、ｂｓｉｎθ）と２焦点の距離の和Ｌをａ、ｂ、ｅ、　　　θを用いて表せ。
> 　　②Ｌを簡単にせよ。（ヒント：Ｌ＾２の根号を外すことによってθを消去でき　　　る）。

①焦点は、 $2$(-ae,0),(ae,0)$ より、 $2$L=\sqrt{(a\cos \theta-ae)^2+(b\sin \theta)^2}+\sqrt{(a\cos \theta+ae)^2+(b\sin \theta)^2}$

② $2$L=\sqrt{s}+\sqrt{t}$ とおくと、 $2$L-\sqrt{t}=\sqrt{s}$ で、２乗して $2$L^2-2L\sqrt{t}+t=s$

$2$L^2+(t-s)=2L\sqrt{t}$ として２乗して、 $2$L^4+2(t-s)L^2+(t-s)^2=4tL^2$ $2$L^4-2(t+s)L^2+(t-s)^2=0$

あとは、 $2$s,t$ を元に戻し、 $2$b^2=a^2(1-e^2)$ として整理する。最後に因数分解すればできあがり？　答えは $2$L=2a$ 。

注　この解答には１つ問題が…

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■13604 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 曲線、曲面

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□投稿者/ miyup 大御所(272回)-(2006/06/18(Sun) 23:10:21)

■No13569に返信(数学質問さんの記事)

> 問　　以下の曲面を求めよ。
>
> 　　　①２点（２、０、０）、（－２、０、０）からの距離の和が２Ｈである点　　　　（ｘ、ｙ、ｚ）たちのつくる曲面を求めよ。
>
> 　　　②２点（２、０、０）、（－２、０、０）からの距離の差が絶対値が２ｈで　　　　ある点（ｘ、ｙ、ｚ）たちのつくる曲面を求めよ。
>

楕円面と、双曲面ですね。（この２点は焦点）。

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