数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[8]: ガンマ関数とベータ関数の証明 / Page: 0]

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■13556 / inTopicNo.1)

　ガンマ関数とベータ関数の証明

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□投稿者/ マギー☆ 一般人(1回)-(2006/06/17(Sat) 23:20:25)

ガンマ関数とベータ関数の証明の問題が出たのですが…
どうやってやったらいいのか…
助けてください！！

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■13557 / inTopicNo.2)

　Re[1]: ガンマ関数とベータ関数の証明

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□投稿者/ はまだ大御所(350回)-(2006/06/18(Sun) 01:10:26)

■No13556に返信(マギー☆さんの記事)
何を証明する問題ですか？

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■13562 / inTopicNo.3)

　Re[1]: ガンマ関数とベータ関数の証明

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□投稿者/ 平木慎一郎大御所(356回)-(2006/06/18(Sun) 06:11:09)

2006/06/18(Sun) 06:11:31 編集(投稿者)

■No13556に返信(マギー☆さんの記事)
> ガンマ関数とベータ関数の証明の問題が出たのですが…
> どうやってやったらいいのか…
> 助けてください！！
■No12363
参考になるか分かりませんが以前質問された内容です。

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■13573 / inTopicNo.4)

　Re[2]: ガンマ関数とベータ関数の証明

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□投稿者/ マギー☆ 一般人(2回)-(2006/06/18(Sun) 14:08:36)

何を証明するかというのが私もよくわからなくて…そのためどうやって手をつけたらいいのか…
参考になるかわかりませんが、確立密度を求めるところでガンマ関数とベータ関数がでてきました。
これを利用して確立密度が出せることを証明しろということなのかなとも思ったんですが。

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■13577 / inTopicNo.5)

　Re[3]: ガンマ関数とベータ関数の証明

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□投稿者/ はまだ大御所(353回)-(2006/06/18(Sun) 15:12:58)

■No13573に返信(マギー☆さんの記事)
正規分布の計算過程でガンマ関数を使うことがありますね。

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■13607 / inTopicNo.6)

　Re[4]: ガンマ関数とベータ関数の証明

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□投稿者/ マギー☆ 一般人(3回)-(2006/06/18(Sun) 23:36:47)

どういう過程で進めていくのがいいのでしょう…
ガンマ関数の成り立ちを証明するのであれば１３５６２さんが紹介してくれたものを参考にして進めていくのがいいのでしょうか。

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■13615 / inTopicNo.7)

　Re[5]: ガンマ関数とベータ関数の証明

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□投稿者/ はまだ大御所(354回)-(2006/06/19(Mon) 00:51:59)

■No13607に返信(マギー☆さんの記事)
質問を具体的にしてください。

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■13655 / inTopicNo.8)

　Re[6]: ガンマ関数とベータ関数の証明

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□投稿者/ マギー☆ 一般人(4回)-(2006/06/19(Mon) 17:57:18)

ガンマ関数とベータ関数の公式を証明したいです。

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■13657 / inTopicNo.9)

　Re[7]: ガンマ関数とベータ関数の証明

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□投稿者/ はまだ大御所(357回)-(2006/06/19(Mon) 18:14:50)

■No13655に返信(マギー☆さんの記事)
公式といっても色々あります。どの公式ですか？
証明したい式を書き込んで下さい。

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■13661 / inTopicNo.10)

　Re[7]: ガンマ関数とベータ関数の証明

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□投稿者/ 平木慎一郎大御所(360回)-(2006/06/19(Mon) 18:54:48)

2006/06/19(Mon) 19:00:56 編集(投稿者)
2006/06/19(Mon) 18:58:05 編集(投稿者)

■No13655に返信(マギー☆さんの記事)
> ガンマ関数とベータ関数の公式を証明したいです。
たとえばガンマ関数
$2$\displaystyle \displaystyle\int_0^\infty{x^{n-1}e^{-x}}dx=(n-1)!$
の証明で（nは自然数）
これを $2$I_n$ とおき、さらにここで
$2$\displaystyle \displaystyle\int_0^\beta{x^{n-1}e^{-x}}dx$
とし、 $2$I_n$ の満たす漸化式を導く方法もあります。
部分積分をもちいて $2$\beta\to\infty$ とすればいいのです。
ベータ関数
$2$\displaystyle \displaystyle\int_0^1{x^{p-1}(1-x)^{q-1}}dx=B(p,q)$
の証明ですが、次のような問題を考えてみてください。
$2$\displaystyle \displaystyle\int_0^1{(x-\alpha)^m(\beta-x)^n}dx=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1}$
の証明。
$2$x=(\beta-\alpha)t+\alpha$ と置換すると
左辺が
$2$(\beta-\alpha)^{m+n+1}\displaystyle \displaystyle\int_0^1{t^m(1-t)^n}dt=(\beta-\alpha)^{m+n+1} B(m+1,n+1)$
となります。
ところで、ベータ、ガンマ関数ともに形はご存知ですよね？

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■14041 / inTopicNo.11)

　Re[8]: ガンマ関数とベータ関数の証明

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□投稿者/ マギー一般人(1回)-(2006/06/26(Mon) 19:28:38)

■No13661に返信(平木慎一郎さんの記事)
> 2006/06/19(Mon) 19:00:56 編集(投稿者)
> 2006/06/19(Mon) 18:58:05 編集(投稿者)
>
> ■No13655に返信(マギー☆さんの記事)
>>ガンマ関数とベータ関数の公式を証明したいです。
> たとえばガンマ関数
> $2$\displaystyle \displaystyle\int_0^\infty{x^{n-1}e^{-x}}dx=(n-1)!$
> の証明で（nは自然数）
> これを $2$I_n$ とおき、さらにここで
> $2$\displaystyle \displaystyle\int_0^\beta{x^{n-1}e^{-x}}dx$
> とし、 $2$I_n$ の満たす漸化式を導く方法もあります。
> 部分積分をもちいて $2$\beta\to\infty$ とすればいいのです。
> ベータ関数
> $2$\displaystyle \displaystyle\int_0^1{x^{p-1}(1-x)^{q-1}}dx=B(p,q)$
> の証明ですが、次のような問題を考えてみてください。
> $2$\displaystyle \displaystyle\int_0^1{(x-\alpha)^m(\beta-x)^n}dx=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1}$
> の証明。
> $2$x=(\beta-\alpha)t+\alpha$ と置換すると
> 左辺が
> $2$(\beta-\alpha)^{m+n+1}\displaystyle \displaystyle\int_0^1{t^m(1-t)^n}dt=(\beta-\alpha)^{m+n+1} B(m+1,n+1)$
> となります。
> ところで、ベータ、ガンマ関数ともに形はご存知ですよね？
返信遅くなってすみません。
平木慎一郎さんの仰るとおりでした。
こんな証明が実際あったのでよくわかりました。本当にありがとうございました！
また質問なんですが、
次の積分を複素数積分で解きたいのですがどうすればいいのですか？
∫[-∞→∞]1/(1+x^2)dx

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