数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 行列 / Page: 0]

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■13281 / inTopicNo.1)

　行列

□投稿者/ ぉい一般人(1回)-(2006/06/11(Sun) 10:35:50)

行列X＝｛[a,c],[b,d]}(a,b,c,dは実数）が次の条件を満たす。ただし、Oは零行列、Eは単位行列

　X＾４－３X^3－２ｘ＾２－３ｘ+E＝O、aｄ－ｂｃ＝１、a＋ｄ＜０

このとき

（１）A＝X＋X^-1として、A＾２をαA＋βE（α、βは実数）の形で表せ

（２）X＾２をαX＋βEの形で表せ

（３）X＾ｎ（ｎ；自然数）をαX＋βEの形で表せ

お手上げです

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■13293 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 行列

▲▼■

□投稿者/ miyup ベテラン(226回)-(2006/06/11(Sun) 14:26:30)

■No13281に返信(ぉいさんの記事)
> 行列X＝｛[a,c],[b,d]}(a,b,c,dは実数）が次の条件を満たす。ただし、Oは零行列、Eは単位行列
> 　X＾４－３X^3－２ｘ＾２－３ｘ+E＝O、aｄ－ｂｃ＝１、a＋ｄ＜０
> このとき
> （１）A＝X＋X^-1として、A＾２をαA＋βE（α、βは実数）の形で表せ
> （２）X＾２をαX＋βEの形で表せ
> （３）X＾ｎ（ｎ；自然数）をαX＋βEの形で表せ

(1) $2$A=X+X^{-1}$ より $2$A^2=X^2+2E+(X^{-1})^2$ すなわち $2$X^2+(X^{-1})^2=A^2-2E$ …①

　 $2$X^4-3X^3-2X^2-3X+E=O$ に $2$(X^{-1})^2$ をかけて $2$X^2-3X-2E-3X^{-1}+(X^{-1})^2=O$

　 $2$X^2+(X^{-1})^2-3(X+X^{-1})-2E=O$

　①代入 $2$A^2-2E-3A-2E=O$ よって、 $2$A^2=3A+4E$

(2) (1)より、 $2$A^2-3A-4E=O$ $2$(A-4E)(A+E)=O$ $2$A=4E,-E$ a+d<0 より、 $2$A=-E$

　すなわち $2$X+X^{-1}=-E$ より、 $2$X^2+E=-X$ よって、 $2$X^2=-X-E$

(3) $2$X^3=X^2X=(-X-E)X=-X^2-X=-(-X-E)-X=E$ より、

　 $2$k=1,2,3,\cdots$ として

　 $2$n=3k-2$ のとき、 $2$X^n=X$ 、 $2$n=3k-1$ のとき、 $2$X^n=-X-E$ 、 $2$n=3k$ のとき、 $2$X^n=E$

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