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■13152 / inTopicNo.1)

　質問

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□投稿者/ miti 一般人(1回)-(2006/06/08(Thu) 19:53:24)

a>1,k>0ならばｎ→∞のとき（a^n/n^k）→∞であることを示せ
この問題でｋ＞１のときが分かりません　教えてください

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■13154 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 質問

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□投稿者/ KUT-TAN 一般人(1回)-(2006/06/08(Thu) 20:51:53)

nをxに置き換えた連続関数a^x/x^kについて考えても結果は同じ。
a^x/x^kに自然対数をとると、log(a^x/x^k)=xloga-klogx=x(loga-k(logx/x))
x→+∞のときlog/x→0（証明抜きで認めるか、またはロピタルの定理を使って証明）、loga>0より、limx→+∞ x(loga-k(logx/x))=+∞。
limx→+∞ log(a^x/x^k)=+∞より、limx→+∞ a^x/x^k=+∞。
よって、a>1,k>0ならばｎ→∞のとき（a^n/n^k）→∞。

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■13155 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 質問

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□投稿者/ miyup ベテラン(203回)-(2006/06/08(Thu) 21:19:59)

■No13154に返信(KUT-TANさんの記事)
> nをxに置き換えた連続関数a^x/x^kについて考えても結果は同じ。
> a^x/x^kに自然対数をとると、log(a^x/x^k)=xloga-klogx=x(loga-k(logx/x))
> x→+∞のときlog/x→0（証明抜きで認めるか、またはロピタルの定理を使って証明）、loga>0より、limx→+∞ x(loga-k(logx/x))=+∞。
> limx→+∞ log(a^x/x^k)=+∞より、limx→+∞ a^x/x^k=+∞。
> よって、a>1,k>0ならばｎ→∞のとき（a^n/n^k）→∞。

別解

$2$a^{\frac{1}{k}}=b$ とおくと $2$a>1,\;k>0$ より $2$b>1$ で $2$a=b^k$

このとき、 $2$\frac{x^k}{a^x}=\frac{x^k}{b^{kx}}=$\frac{x}{b^x}$^k \to +0$ 　（ロピタル $2$\lim_{x \to \infty}\frac{x}{b^x}=\lim_{x \to \infty}\frac{1}{b^x\log b}=0$ より）

よって、 $2$\frac{a^x}{x^k}=\frac{1}{\frac{x^k}{a^x}} \to +\infty$

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