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■13046 / inTopicNo.1)

　代数学

□投稿者/ 質問（代数）一般人(1回)-(2006/06/06(Tue) 09:13:47)

以下の問題、わかる方お願いします。

問1　次の行列の階数を求めよ。
　　(（1,1,1)(a,b,c)(a^2,b^2,c^2))

問2　次の行列の逆行列を求めよ。
　　((1,0,0,0・・0)（-1,1,0,0・・0)(0,-1,1,0・・0)・・(0.0,0・・-1,1))

　　　＊この行列は、ｎ行ｎ列の行列

問3　R^4∋ａ＝（1，3，4，7），ｂ＝（2，1，3，5），ｃ＝（3，-1，2，3）
　　　　ｄ＝（4，-3，1，1）とおく。

　　　（1）ａ，ｂ，ｃ，ｄの中から線形独立に取り出せるベクトルの最大個数は
　　　　　２個であることを示し、そのように２個のベクトルを取り出せ。

　　　（2）（1）で取り出したベクトルの線形結合として、残りのベクトル
　　　　　　を表せ。

　　　（3）（1）で取り出したベクトルを含むようなR^4の基底を一組与えよ。

問4　　Ａを（ｍ、ｎ）型行列、Ｖ＾ｎ，Ｖ＾ｍをそれぞれｎ項、ｍ項列ベクトル
　　　　全体とする。

　　　（１）Ｗ＝｛ｂ∈Ｖ＾ｍ、あるａ∈Ｖ＾ｎが存在し、ｂ＝Ａａとかける｝と
　　　　　　おくとき、次を示せ。

　　　（ｉ）０∈Ｗ　（この０はｍ項零ベクトル）
　　　（ⅱ）ｂ∈Ｗなら任意のスカラーλに対し、λｂ∈Ｗ
　　　（ⅲ）ｂ［1］，ｂ［2］∈Ｗなら、ｂ［1］+ｂ［2］∈Ｗ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

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■13048 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 代数学

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□投稿者/ miyup ファミリー(185回)-(2006/06/06(Tue) 10:01:42)

■No13046に返信(質問（代数）さんの記事)
> 以下の問題、わかる方お願いします。
>
>
> 問1　次の行列の階数を求めよ。
> 　　(（1,1,1)(a,b,c)(a^2,b^2,c^2) )

掃き出し法より、( (1,1,1)(0,b-a,c-a)(0,0,(c-a)(c-b)) )

a=b=c のとき階数は１、a≠bかつ(c=aまたはc=b)のとき階数は２、どの２つも等しくないとき階数は３

> 問2　次の行列の逆行列を求めよ。
> 　　((1,0,0,0・・0)（-1,1,0,0・・0)(0,-1,1,0・・0)・・(0.0,0・・-1,1))
> 　　　＊この行列は、ｎ行ｎ列の行列

( (1,0,0,0,…,0)(1,1,0,0,…,0)(1,1,1,0,…,0) … (1,1,1,1,…,1))

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■13049 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 代数学

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□投稿者/ miyup ファミリー(186回)-(2006/06/06(Tue) 10:32:45)

■No13046に返信(質問（代数）さんの記事)
> 問3　R^4∋ａ＝（1，3，4，7），ｂ＝（2，1，3，5），ｃ＝（3，-1，2，3）
> 　　　　ｄ＝（4，-3，1，1）とおく。
>
> 　　　（1）ａ，ｂ，ｃ，ｄの中から線形独立に取り出せるベクトルの最大個数は
> 　　　　　２個であることを示し、そのように２個のベクトルを取り出せ。
> 　　　（2）（1）で取り出したベクトルの線形結合として、残りのベクトル
> 　　　　　を表せ。
> 　　　（3）（1）で取り出したベクトルを含むようなR^4の基底を一組与えよ。

(1) ((1,3,4,7)(2,1,3,5)(3,-1,2,3)(4,-3,1,1))を変形して((1,3,4,7)(0,-5,-5,-9)(0,0,0,0)(0,0,0,0))

よって、(1,3,4,7)(0,-5,-5,-9)の２個が取り出せる。

(2) x=(1,3,4,7),y=(0,-5,-5,-9) とおくと、a=1x+0y ,b=2x+1y ,c=3x+2y ,d=4x+3y

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