数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 大御所さん / Page: 0]

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■12790 / inTopicNo.1)

　ほんと

□投稿者/ ソリン一般人(1回)-(2006/06/01(Thu) 13:01:41)

a,bを定数とする。整数ｍ、ｎが０以上で
　I（ｍ、ｎ）＝∫[a,b](x-a)^m(b-x)^ndx
と定義すると
（１）ｎ≧１のときI（ｍ、ｎ）をI（ｍ＋１、ｎ－１）であらわせ
（２）I（ｍ、ｎ）＝｛ｍ！ｎ！／（ｍ＋ｎ＋１）！｝（ｂ－a）＾ｍ＋ｎ＋１
　　　であることを示せ
やりかたがわかりません。

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■12791 / inTopicNo.2)

▲▼■

□投稿者/ 白拓大御所(396回)-(2006/06/01(Thu) 13:14:08)

> a,bを定数とする。整数ｍ、ｎが０以上で
> 　I（ｍ、ｎ）＝∫[a,b](x-a)^m(b-x)^ndx
> と定義すると
> （１）ｎ≧１のときI（ｍ、ｎ）をI（ｍ＋１、ｎ－１）であらわせ
部分積分しましょう。
> （２）I（ｍ、ｎ）＝｛ｍ！ｎ！／（ｍ＋ｎ＋１）！｝（ｂ－a）＾ｍ＋ｎ＋１
> 　　　であることを示せ
（1）を使いましょう。

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■12792 / inTopicNo.3)

　大御所さん

▲▼■

□投稿者/ ソリン一般人(2回)-(2006/06/01(Thu) 14:40:31)

（１）部分積分したんですけどうまくいきません。
（２）（１）の使い方が分かりません

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■12806 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 大御所さん

▲▼■

□投稿者/ miyup 軍団(121回)-(2006/06/01(Thu) 22:13:12)

2006/06/01(Thu) 22:13:55 編集(投稿者)

■No12792に返信(ソリンさんの記事)

横入り失礼します。

> a,bを定数とする。整数ｍ、ｎが０以上で
> 　I（ｍ、ｎ）＝∫[a,b](x-a)^m(b-x)^ndx
> と定義すると
> （１）ｎ≧１のときI（ｍ、ｎ）をI（ｍ＋１、ｎ－１）であらわせ
> （２）I（ｍ、ｎ）＝｛ｍ！ｎ！／（ｍ＋ｎ＋１）！｝（ｂ－a）＾ｍ＋ｎ＋１
> 　　　であることを示せ

$2$I(m,n)$

$2$=\displaystyle\int_a^b (x-a)^m (b-x)^n dx$

$2$=\[\frac{(x-a)^{m+1}}{m+1}(b-x)^n\]_a^b-\displaystyle\int_a^b \frac{(x-a)^{m+1}}{m+1}\cdot n(b-x)^{n-1}\cdot (-1) dx$

$2$=0+\frac{n}{m+1}\displaystyle\int_a^b (x-a)^{m+1}(b-x)^{n-1} dx$

$2$=\frac{n}{m+1}I(m+1,n-1)$

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■12808 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 大御所さん

▲▼■

□投稿者/ miyup 軍団(123回)-(2006/06/01(Thu) 22:26:50)

2006/06/01(Thu) 22:28:57 編集(投稿者)
2006/06/01(Thu) 22:28:22 編集(投稿者)

■No12806に返信(miyupさんの記事)

（２）

$2$I(m,n)=\frac{n}{m+1}I(m+1,n-1)$

$2$=\frac{n(n-1)}{(m+2)(m+1)}I(m+2,n-2)$

$2$\cdots$

$2$=\frac{n(n-1)\cdots 2\cdot 1}{(m+n)\cdots (m+2)(m+1)}I(m+n,0)$

$2$=\frac{m!n!}{(m+n)!}I(m+n,0)$

あとは $2$I(m+n,0)$ を計算して、完成。

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