数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 数列 / Page: 0]

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■12386 / inTopicNo.1)

　数列

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□投稿者/ 充一般人(1回)-(2006/05/21(Sun) 12:42:10)

第n項を求めよ。

a_(n+1)=2a_n+3n+3 a_1=1

よくわからないので教えてください。

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■12387 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数列

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□投稿者/ miyup 付き人(55回)-(2006/05/21(Sun) 13:06:40)

■No12386に返信(充さんの記事)
> 第n項を求めよ。
>
> a_(n+1)=2a_n+3n+3 a_1=1
>

a_(n+1)=2a_n+3n+3 …①　のとき
a_(n+2)=2a_(n+1)+3(n+1)+3 …②　で

②－①として
a_(n+2)-a_(n+1)=2{a_(n+1)-a_n}+3 …③

ここで
a_(n+1)-a_n=b_n …④とおくと、③は

b_(n+1)=2b_n+3 となり、よく見る漸化式になりますね。

初項は④より b_1=a_2-a_1 で求められます。a_2 は①から求めて下さい。

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■12388 / inTopicNo.3)

　（削除）

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□投稿者/ -(2006/05/21(Sun) 13:07:00)

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■12395 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 数列

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□投稿者/ 充一般人(2回)-(2006/05/21(Sun) 13:41:47)

平木さんに質問です。
なぜこのように変形できるのかよくわからないので詳しく教えてもらえませんか。

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■12418 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 数列

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□投稿者/ 平木慎一郎ベテラン(240回)-(2006/05/21(Sun) 20:48:12)

■No12395に返信(充さんの記事)
> 平木さんに質問です。
> なぜこのように変形できるのかよくわからないので詳しく教えてもらえませんか。
申し訳ありません。前回投稿したものに誤りがありましたので
改めて回答させていただきます。
今、与えられた漸化式が
$2$a_{n+1}+A(n+1)+B=2(a_n+An+B)$
と変形できると仮定します。
これを展開してもとの漸化式のような形にしてから
A、Bを含む部分を比較してA,Bを求めてください。
するとA=3,B=6となるでしょう。
よって
$2$a_{n+1}+3(n+1)+6=2(a_n+3n+6)$
すると $2$a_n+3n+6$ は初項10,公比2の等比数列ですので
$2$a_n+3n+6=10*2^{n-1}$
よって
$2$a_n=10*2^{n-1}-3n-6$
となります。これはn=1・・・も成り立ちます。

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■12462 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 数列

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□投稿者/ 平木慎一郎大御所(253回)-(2006/05/22(Mon) 19:53:56)

■No12418に返信(平木慎一郎さんの記事)
> ■No12395に返信(充さんの記事)
>>平木さんに質問です。
>>なぜこのように変形できるのかよくわからないので詳しく教えてもらえませんか。
> 申し訳ありません。前回投稿したものに誤りがありましたので
> 改めて回答させていただきます。
> 今、与えられた漸化式が
> $2$a_{n+1}+A(n+1)+B=2(a_n+An+B)$
> と変形できると仮定します。
> これを展開してもとの漸化式のような形にしてから
> A、Bを含む部分を比較してA,Bを求めてください。
> するとA=3,B=6となるでしょう。
> よって
> $2$a_{n+1}+3(n+1)+6=2(a_n+3n+6)$
> すると $2$a_n+3n+6$ は初項10,公比2の等比数列ですので
> $2$a_n+3n+6=10*2^{n-1}$
> よって
> $2$a_n=10*2^{n-1}-3n-6$
> となります。これはn=1・・・も成り立ちます。
他にも両辺を2^nで割る（今回は）などいろいろな方法が考えられましたが、
今回なにかいい方法はないかと。
示したのは最も最短でいける方法だと思います。

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