 | > （1）積分f(x)=∫[0→x]e^(t)sintdtを計算せよ。
f(x)={e^(t)(-cost)}[0→x]-∫[0→x]e^(t)(-cost)dx
={1-e^x*cosx}+∫[0→x]e^(t)costdx=1-e^x*cosx+f2(x)…A
f2(x)=∫[0→x]e^(t)costdt={e^(t)sint}[0→x]-∫[0→x]e^(t)sintdx
=e^x*sinx-∫[0→x]e^(t)sintdx=e^x*sinx-f(x)…B
(e^x(sinx+cosx)-1)/2
A,Bより、
f-f2=1-e^xcosx
f+f2=e^xsinx
∴f(x)=(1+e^x(sinx-cosx))/2
> （2）関数g(x)=∫[0→x]e^(t)sin(t-x)dtを微分せよ。
g(x)=∫[0→x]e^(t)sin(t-x)dt
=∫[0→x]e^(t)(sintcosx-costsinx)dt
=cosx∫[0→x]e^(t)sintdt-sinx∫[0→x]e^(t)costdt
g'(x)=-sinx∫[0→x]e^(t)sintdt-cosx∫[0→x]e^(t)costdt+ cosx*e^(x)*sinx-sinx*e^(x)*cosx
=-sinx∫[0→x]e^(t)sintdt-cosx∫[0→x]e^(t)costdt
=-sinx*f(x)-cosx*f2(x)
=-sinx*(1+e^x(sinx-cosx))/2-cosx(e^x(sinx+cosx)-1)/2
=(cosx-sinx-e^x)/2
> 積分と関数って微妙に問題文が違うんですけど
> なにかあるんでしょうか？
積分f(x)=∫[0→x]e^(t)sintdt
もxの関数です。この積分を計算せよという問題ではe^(t)sintを積分すればいいです。
関数f(x)を積分せよという問題では、
∫[0→u]f(x)dx=∫[0→u]{∫[0→x]e^(t)sintdt}dx
を求める場合であったりします。
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