| > (1)積分f(x)=∫[0→x]e^(t)sintdtを計算せよ。 f(x)={e^(t)(-cost)}[0→x]-∫[0→x]e^(t)(-cost)dx ={1-e^x*cosx}+∫[0→x]e^(t)costdx=1-e^x*cosx+f2(x)…A
f2(x)=∫[0→x]e^(t)costdt={e^(t)sint}[0→x]-∫[0→x]e^(t)sintdx =e^x*sinx-∫[0→x]e^(t)sintdx=e^x*sinx-f(x)…B (e^x(sinx+cosx)-1)/2 A,Bより、 f-f2=1-e^xcosx f+f2=e^xsinx ∴f(x)=(1+e^x(sinx-cosx))/2
> (2)関数g(x)=∫[0→x]e^(t)sin(t-x)dtを微分せよ。 g(x)=∫[0→x]e^(t)sin(t-x)dt =∫[0→x]e^(t)(sintcosx-costsinx)dt =cosx∫[0→x]e^(t)sintdt-sinx∫[0→x]e^(t)costdt
g'(x)=-sinx∫[0→x]e^(t)sintdt-cosx∫[0→x]e^(t)costdt+ cosx*e^(x)*sinx-sinx*e^(x)*cosx =-sinx∫[0→x]e^(t)sintdt-cosx∫[0→x]e^(t)costdt =-sinx*f(x)-cosx*f2(x) =-sinx*(1+e^x(sinx-cosx))/2-cosx(e^x(sinx+cosx)-1)/2 =(cosx-sinx-e^x)/2
> 積分と関数って微妙に問題文が違うんですけど > なにかあるんでしょうか?
積分f(x)=∫[0→x]e^(t)sintdt もxの関数です。この積分を計算せよという問題ではe^(t)sintを積分すればいいです。 関数f(x)を積分せよという問題では、 ∫[0→u]f(x)dx=∫[0→u]{∫[0→x]e^(t)sintdt}dx を求める場合であったりします。
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