数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 円と直線の問題 / Page: 0]

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■11960 / inTopicNo.1)

　円と直線の問題

▼■

□投稿者/ bigriver 一般人(22回)-(2006/05/13(Sat) 17:30:00)

直線ｌ：3x+4y=10 円Ｃ:x^2+y^2=1がある。
点Ｒがl上を、点ＳがＣ上を、直線ＲＳがＣに接するように動くとき、
線分ＲＳの長さの最小値を求めよ。

という問題です。よろしくお願いします。

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■11962 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 円と直線の問題

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□投稿者/ 平木慎一郎ファミリー(164回)-(2006/05/13(Sat) 18:23:26)

2006/05/13(Sat) 18:35:42 編集(投稿者)

■No11960に返信(bigriverさんの記事)
> 直線ｌ：3x+4y=10 円Ｃ:x^2+y^2=1がある。
> 点Ｒがl上を、点ＳがＣ上を、直線ＲＳがＣに接するように動くとき、
> 線分ＲＳの長さの最小値を求めよ。
>
> という問題です。よろしくお願いします。
RSは接することから三角形RSO(Oは原点)は∠RSO=90°の直角三角形です。
よって $2$R(R,\frac{{10-3R}}{{4}})$ とおいてRを用いて線分RSの長さを
求めます。これの最小値は二次関数として求めることができます。
すると僕の計算では $2$\frac{{25}}{{16}}x^2-\frac{{15}}{{4}}x+\frac{{21}}{{4}}=\frac{{25}}{{16}}(x-\frac{{6}}{{5}})+3$ で求める最小値は3

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■12137 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 円と直線の問題

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□投稿者/ bigriver 一般人(23回)-(2006/05/16(Tue) 14:16:05)

■No11962に返信(平木慎一郎さんの記事)
> 2006/05/13(Sat) 18:35:42 編集(投稿者)
>
> ■No11960に返信(bigriverさんの記事)
>>直線ｌ：3x+4y=10 円Ｃ:x^2+y^2=1がある。
>>点Ｒがl上を、点ＳがＣ上を、直線ＲＳがＣに接するように動くとき、
>>線分ＲＳの長さの最小値を求めよ。
>>
>>という問題です。よろしくお願いします。
> RSは接することから三角形RSO(Oは原点)は∠RSO=90°の直角三角形です。
> よって $2$R(R,\frac{{10-3R}}{{4}})$ とおいてRを用いて線分RSの長さを
> 求めます。これの最小値は二次関数として求めることができます。
> すると僕の計算では $2$\frac{{25}}{{16}}x^2-\frac{{15}}{{4}}x+\frac{{21}}{{4}}=\frac{{25}}{{16}}(x-\frac{{6}}{{5}})+3$ で求める最小値は3

返信ありがとうございます！
私も、同じ2次関数が出てきました。

ただ、RS^2 ＝ $2$\frac{{25}}{{16}}x^2-\frac{{15}}{{4}}x+\frac{{21}}{{4}}=\frac{{25}}{{16}}(x-\frac{{6}}{{5}})+3$

ではないですか？

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■12139 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 円と直線の問題

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□投稿者/ 平木慎一郎ファミリー(190回)-(2006/05/16(Tue) 16:30:29)

■No12137に返信(bigriverさんの記事)
> ■No11962に返信(平木慎一郎さんの記事)
>>2006/05/13(Sat) 18:35:42 編集(投稿者)
>>
>>■No11960に返信(bigriverさんの記事)
> >>直線ｌ：3x+4y=10 円Ｃ:x^2+y^2=1がある。
> >>点Ｒがl上を、点ＳがＣ上を、直線ＲＳがＣに接するように動くとき、
> >>線分ＲＳの長さの最小値を求めよ。
> >>
> >>という問題です。よろしくお願いします。
>>RSは接することから三角形RSO(Oは原点)は∠RSO=90°の直角三角形です。
>>よって $2$R(R,\frac{{10-3R}}{{4}})$ とおいてRを用いて線分RSの長さを
>>求めます。これの最小値は二次関数として求めることができます。
>>すると僕の計算では $2$\frac{{25}}{{16}}x^2-\frac{{15}}{{4}}x+\frac{{21}}{{4}}=\frac{{25}}{{16}}(x-\frac{{6}}{{5}})+3$ で求める最小値は3
>
> 返信ありがとうございます！
> 私も、同じ2次関数が出てきました。
>
> ただ、RS^2 ＝ $2$\frac{{25}}{{16}}x^2-\frac{{15}}{{4}}x+\frac{{21}}{{4}}=\frac{{25}}{{16}}(x-\frac{{6}}{{5}})+3$
>
> ではないですか？
>
失礼しました。そうです。

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■12159 / inTopicNo.5)

　Re[1]: 円と直線の問題

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□投稿者/ miyup 一般人(24回)-(2006/05/16(Tue) 21:44:04)

■No11960に返信(bigriverさんの記事)
> 直線ｌ：3x+4y=10 円Ｃ:x^2+y^2=1がある。
> 点Ｒがl上を、点ＳがＣ上を、直線ＲＳがＣに接するように動くとき、
> 線分ＲＳの長さの最小値を求めよ。

別解です。

△ＯＲＳは直角三角形なので、三平方の定理より
$2$RS^2=OR^2-OS^2=OR^2-1$
すなわちＲＳの最小値は、ＯＲが最小値をとるときとなります。

ＯＲが最小のとき、直線ＯＲは直線ｌと垂直になるので、
点Ｏと直線ｌとの距離公式により、
$2$OR=\frac{\|-10\|}{\sqrt{3^2+4^2}}=2$

よって、 $2$RS=\sqrt{OR^2-1}=\sqrt{3}$

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