数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[5]: 領域（線形計画法） / Page: 0]

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■11554 / inTopicNo.1)

　領域（線形計画法）

□投稿者/ シゲル一般人(1回)-(2006/05/03(Wed) 11:38:46)

いくら考えても解答と同じ答えにならないので、解き方を解説してください。お願いします。
１．２xーy＋２≧０，２xー５yー６≦０，２x＋y－６≦０を満たすx，yに対して
x＾２＋y＾２のとり得る値の範囲を求めよ。（＾２は２乗を示します。）

２．x＋y－２≧０，xーyー２≦０，y≦３を満たすx，yに対して次の式の最大値、最小値とそのときのx，yの値を求めよ。（＾２は２乗を示します。）
①（x＋１）＾２＋y＾２
②yーx＾２

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■11561 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 領域（線形計画法）

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□投稿者/ X 大御所(430回)-(2006/05/03(Wed) 14:50:08)

１．
まず
２xーy＋２≧０，２xー５yー６≦０，２x＋y－６≦０
を満たす点(x,y)の表す領域は
2x-y+2=0 (A)
2-5y-6=0 (B)
2x+y-6=0 (C)
なる3本の直線で囲まれた三角形の周及び内部となることはよろしいでしょうか。
ここで問題の範囲を求める式
x^2+y^2 (D)
は原点から点(x,y)までの距離の二乗を表しますので
まず原点から点(x,y)までの距離である
√(x^2+y^2)
の最大値、最小値を考えます。
まず最小値。これは問題の領域に原点(0,0)が含まれるので0
次に最大値。これは問題の領域の周囲となっている三角形の頂点と原点との間の距離の内、最も大きいものになります。
従って、まずこの三つの頂点の座標、つまり直線(A)(B)(C)の互いの交点の座標を求めることを考えましょう。

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■11563 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 領域（線形計画法）

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□投稿者/ X 大御所(431回)-(2006/05/03(Wed) 15:06:40)

２．
x＋y－２≧０，xーyー２≦０，y≦３
を満たす点(x,y)を示す領域は
x+y-2=0 (A)
x-y-2=0 (B)
y=3 (C)
なる3直線に囲まれた三角形の周及び内部になります。
ここで(A),(B)の傾きはそれぞれ-1,1であることから頂点の座標は
(-1,3),(2,0),(5,3)
であることが図を描くことで容易に分かります。

①
（x＋１）＾２＋y＾２
は点(-1,0)から点(x,y)までの距離の二乗であることが分かりますので

最小になるのは点(x,y)が点(-1,0)から直線(A)に下ろした垂線の足であるとき
最大になるのは点(x,y)が点(5,3)であるとき

です。

②
y-x^2=k (D)
と置くと
y=x^2+k (E)
これは頂点が(0,k)である下に凸の放物線であることを示します。よって
(D)が最大になるのは点(x,y)が(E)が(C)に接する、つまり点(0,3)を通るとき
(D)が最小になるのは点(x,y)が点(5,3)を通るとき
です。

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■11586 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 領域（線形計画法）

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□投稿者/ シゲル一般人(2回)-(2006/05/04(Thu) 09:48:46)

■No11563に返信(Xさんの記事)
１．は理解できました。（Ａ）と（Ｃ）の交点（４，１）を通るとき最大値になるので、
０≦ｘ＾２+ｙ＾２≦１７となりました。

> ２．
> x＋y－２≧０，xーyー２≦０，y≦３
> を満たす点(x,y)を示す領域は
> x+y-2=0 (A)
> x-y-2=0 (B)
> y=3 (C)
> なる3直線に囲まれた三角形の周及び内部になります。

２．は与えられた連立不等式の現す領域が、三角形の内部ではなく、外側になってしまったのですが。

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■11590 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 領域（線形計画法）

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□投稿者/ 平木慎一郎軍団(131回)-(2006/05/04(Thu) 11:16:50)

■No11586に返信(シゲルさんの記事)
> ■No11563に返信(Xさんの記事)
> １．は理解できました。（Ａ）と（Ｃ）の交点（４，１）を通るとき最大値になるので、
> ０≦ｘ＾２+ｙ＾２≦１７となりました。
>
>>２．
>>x＋y－２≧０，xーyー２≦０，y≦３
>>を満たす点(x,y)を示す領域は
>>x+y-2=0 (A)
>>x-y-2=0 (B)
>>y=3 (C)
>>なる3直線に囲まれた三角形の周及び内部になります。
>
> ２．は与えられた連立不等式の現す領域が、三角形の内部ではなく、外側になってしまったのですが。
y≦3ですのでちゃんと三角形の内部の範囲になりますよ。

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■11594 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 領域（線形計画法）

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□投稿者/ シゲル一般人(3回)-(2006/05/04(Thu) 12:42:34)

■No11590に返信(平木慎一郎さんの記事)
すみません、不等号の向きを勘違いして解いていたようです。
もう一度解きなおしてみます。

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■11613 / inTopicNo.7)

　Re[4]: 領域（線形計画法）

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□投稿者/ シゲル一般人(4回)-(2006/05/05(Fri) 16:14:07)

■No11590に返信(平木慎一郎さんの記事)
①はＭａｘ４５（ｘ、ｙ）＝（５，３）
　　min　9／2（ｘ、ｙ）＝（１／2，3／2）
②はＭａｘ３（ｘ、ｙ）＝（０，３）
　　min－４（ｘ、ｙ）＝（５，３）
となりましたが、どうでしょうか。