 | では次に
α-|a|α-|b|=0のとき
x^3+ax+b=0 ならば |x|≦α
を証明します。
直線|a|x+bと-ax+(-b)、x^3を思い浮かべながら考えてください。
まず、a<0,b<0のときを考えます。
さっきの問題の式と等しいので、その結果を流用してしまおうというわけです。
これは
与式の左辺＝x^3-|a|x-|b|=0と変形できます。
∴さっきの問題より正の実根は一つ。
なので0以上の数の部分はこれを使えばなんとかなります。
なぜなら、解があるのは0とα以外ありえないからです。
つまり、
x≧0 かつ x^3+ax+b=0 ならば |x|≦α
です。
※上の不等式は不自然かもしれませんが後の再利用のためです。
次にx^3+ax+b=0かつx<0である数xについて考えてみます。
これは正の実根が一つであった問題で使った解法をもう一回
使ってやることにします。
つまり、αとxをつないだ直線の傾きの式をだし、それが-aに等しいことを使う。
そして、その値をx^3+ax+b=0へ代入するという作業をする訳です。
そうすると、
-αx(x+α)=(-b)
仮定によってα>0,x<0,-b>0です。
そうすると、-αx>0ですね。
∴x+α>0
つまり、α>-x
x<0なので、-x=|x|
∴|x|<α
不等号は「ちいさい（おおきい）または 等しい」ということを示す記号ですから、
|x|≦α
は正しいということになります。
というよりもαが|x|よりも大きければ、αが|x|以上であることは自明ですね。
つまり、
x<0,x^3+ax+b=0 ならば |x|≦α
まとめると、
a<0,b<0のとき、
x^3+ax+b=0 ならば |x|≦α
ということになります。
つぎにa>0,b<0のときを考えます。
グラフを考えます。開区間(0,α)中に解がありそうです。
関数x^3+ax+b(＝f(x)とおきます。）は微分可能です。
ここでうまくf(0)、f(α）の符号が異なれば、中間値の定理が使えます。
そしてｆは微分すれば3x^2+aとなり増加関数であることがわかります。
（解がほかにあったら困るので、他に解がないことを探そうとする際に
増加関数であることがとても都合がいいわけです。）
その方針でいきます。
f(α)=α^3+aα+b
またαの条件によってα^3-|a|α-|b|=α^3-aα+b=0・・２
ここでf(α)から２式をひけば、
f(α)-0= f(α）− α^3-aα+b = 2aα
a,α>0より、
∴2aα>0
∴f(α)-0＞0
つまり、f(α)＞0です。
また、f(0)=b<0です。
これで中間値の定理が使えます。
∴x^3+ax+b=0をみたす解xが解区間(0,α)のなかにある。
そしてfは増加関数でしたね。つまり、f(x)=0の解は１つだけです。
しかも0<x<α
つまり、|x|≦αです。
ゆえに、
a>0,b<0のとき、
x^3+ax+b=0 ならば |x|≦α
ここで、グラフを考えます。グラフを書いた紙をくるっとまわすと、
a>0,b>0の場合とa<0,b>0の場合のグラフがさっき考えたものと一致します。
これを利用してやります。
つまり、その紙にとった座標軸x,yを-x、-yに置き換えたものを考えればいいと
わかるわけです。なので与式を-xの方程式に直してしまいます。
与式の左辺×(-1)＝ (-x)^3+a(-x) + (-b) = 0です。
また、
a<0,b<0のとき、
x^3+ax+b=0 ならば |x|≦α
a>0,b<0のとき、
x^3+ax+b=0 ならば |x|≦α
という二つのことを証明しました。xは当然、任意の実数です。
そして、
a>0,b>0というのはa>0,-b<0、
a<0,b>0というのはa<0,-b<0、ということに相当します。
これらを考慮すれば、
a<0,b>0のとき、
(-x)^3+a(-x) + (-b) = 0 ならば |-x|≦α
a>0,b>0のとき、
(-x)^3+a(-x) + (-b) = 0 ならば |-x|≦α
そして、
x^3+ax+b=0 ならば (-x)^3+a(-x) + (-b) = 0であって、
|-x|=|x|です。
ゆえに、
a<0,b>0のとき、
x^3+ax+b=0 ならば |x|≦α
a>0,b>0のとき、
x^3+ax+b=0 ならば |x|≦α
これでぜんぶまとめれば、
a≠0,b≠0のとき、
x^3+ax+b=0 ならば |x|≦α
ちなみに、a=0のときは
普通に方程式を解けばOKです。
ゆえに、
α-|a|α-|b|=0のとき
x^3+ax+b=0 ならば |x|≦α
これで終わりです。
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