 | x≧0 y≧0 (A)
ですから
x/(1+x)+y/(1+y)≧(x+y)/(1+x+y)
⇔{x(1+y)+y(1+x)}(1+x+y)≧(x+y)(1+x)(1+y) (B)
よって(A)のとき(B)であることを証明します。
((B)の左辺)-((B)の右辺)
={x(1+y)+y(1+x)}+{x(1+y)+y(1+x)}(x+y)-(x+y)(1+x)(1+y)
={x(1+y)+y(1+x)}+{x(1+y)+y(1+x)-(1+x)(1+y)}(x+y)
=(x+y)+xy+(xy-1)(x+y)
=xy(x+y+1)≧0
(不等号の下の等号はx=0又はy=0のとき成立)
よって(B)は成立します。(等号はx=0又はy=0のとき成立)
|