| x≧0 y≧0 (A) ですから x/(1+x)+y/(1+y)≧(x+y)/(1+x+y) ⇔{x(1+y)+y(1+x)}(1+x+y)≧(x+y)(1+x)(1+y) (B) よって(A)のとき(B)であることを証明します。 ((B)の左辺)-((B)の右辺) ={x(1+y)+y(1+x)}+{x(1+y)+y(1+x)}(x+y)-(x+y)(1+x)(1+y) ={x(1+y)+y(1+x)}+{x(1+y)+y(1+x)-(1+x)(1+y)}(x+y) =(x+y)+xy+(xy-1)(x+y) =xy(x+y+1)≧0 (不等号の下の等号はx=0又はy=0のとき成立) よって(B)は成立します。(等号はx=0又はy=0のとき成立)
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