数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 平面上のベクトルの演算 / Page: 0]

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■11279 / inTopicNo.1)

　平面上のベクトルの演算

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□投稿者/ cheru 一般人(4回)-(2006/04/23(Sun) 19:34:06)

点Ｏを中心とする円を考える。この円の円周上に3点Ａ，Ｂ，Ｃがあって、
　　　　↑ＯＡ＋↑ＯＢ＋↑ＯＣ＝↑0
を満たしている。このとき、三角形ＡＢＣは正三角形であることを証明せよ。

どなたか教えてください

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■11280 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 平面上のベクトルの演算

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□投稿者/ X 大御所(417回)-(2006/04/23(Sun) 20:30:55)

2006/04/23(Sun) 22:41:51 編集(投稿者)

問題は
↑OA＋↑OB＋↑OC=↑0かつ|↑OA|=|↑OB|=|↑OC|
⇒|↑AB|=|↑BC|=|↑CA|
と等価になります。
ここで
|↑AB|=|↑BC|=|↑CA|⇔|↑AB|^2=|↑BC|^2=|↑CA|^2
ですから問題は

↑OA＋↑OB＋↑OC=↑0かつ|↑OA|=|↑OB|=|↑OC|
⇒|↑AB|^2=|↑BC|^2=|↑CA|^2

と等価になります。
そこで、前準備として

↑OA＋↑OB＋↑OC=↑0かつ|↑OA|=|↑OB|=|↑OC|
⇒↑OA・↑OB=↑OB・↑OC=↑OC・↑OA (P)

を証明しておきます。
↑OA＋↑OB＋↑OC=↑0
の両辺の↑OA、↑OB、↑OCそれぞれとの内積を取り
|↑OA|=|↑OB|=|↑OC|
を利用すると
↑OA・↑OB+↑OC・↑OA=-|↑OA|^2 (A)
↑OA・↑OB+↑OB・↑OC=-|↑OA|^2 (B)
↑OB・↑OC+↑OC・↑OA=-|↑OA|^2 (C)

(A)(B)(C)を↑OA・↑OB、↑OB・↑OC、↑OC・↑OAの連立方程式と見て解けば(P)は証明できます。

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■11284 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 平面上のベクトルの演算

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□投稿者/ cheru 一般人(6回)-(2006/04/23(Sun) 21:12:37)

■No11280に返信(Xさんの記事)
> ↑OA＋↑OB＋↑OC=↑0
> の両辺の↑OA、↑OB、↑OCそれぞれとの内積を取り
> |↑OA|=|↑OB|=|↑OC|
> を利用すると
> ↑OA・↑OB+↑OB・↑OC=-|↑OA|^2 (A)
> ↑OB・↑OC+↑OC・↑OA=-|↑OA|^2 (B)
> ↑OA・↑OB+↑OC・↑OA=-|↑OA|^2 (C)
> (A)(B)(C)を↑OA・↑OB、↑OB・↑OC、↑OC・↑OAの連立方程式と見て解けば(P)は証明できます。

この辺がよくわかりません。。。
なぜ ↑OA・↑OB+↑OB・↑OC=-|↑OA|^2　となるのですか？

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■11287 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 平面上のベクトルの演算

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□投稿者/ X 大御所(420回)-(2006/04/23(Sun) 22:47:45)

ごめんなさい。文章と(A)(B)(C)の式の順番の対応が取れていませんでしたので11280のレスを直接修正しておきます。

さて計算過程ですが、例えば(B)について
↑OA＋↑OB＋↑OC=↑0
の両辺の↑OBとの内積を取ると
↑OB・(↑OA＋↑OB＋↑OC)=0
変形すると
↑OA・↑OB+|↑OB|^2+↑OB・↑OC=0
∴↑OA・↑OB+↑OB・↑OC=-|↑OB|^2
この式に
|↑OA|=|↑OB|=|↑OC|
を代入すれば、(B)となります。

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■11291 / inTopicNo.5)

　Re[2]: 平面上のベクトルの演算

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□投稿者/ cheru 一般人(7回)-(2006/04/23(Sun) 23:27:00)

計算できました＾＾
それと、何度も申し訳ないんですが

↑OA＋↑OB＋↑OC=↑0かつ|↑OA|=|↑OB|=|↑OC|
⇒|↑AB|^2=|↑BC|^2=|↑CA|^2

と等価になります。
そこで、前準備として

↑OA＋↑OB＋↑OC=↑0かつ|↑OA|=|↑OB|=|↑OC|
⇒↑OA・↑OB=↑OB・↑OC=↑OC・↑OA (P)

のところで|↑AB|^2⇒↑OA・↑OB　となるのはなぜですか？

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■11298 / inTopicNo.6)

　Re[1]: 平面上のベクトルの演算

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□投稿者/ Y 一般人(1回)-(2006/04/24(Mon) 09:17:41)

■No11279に返信(cheruさんの記事)
> 点Ｏを中心とする円を考える。この円の円周上に3点Ａ，Ｂ，Ｃがあって、
> 　　　　↑ＯＡ＋↑ＯＢ＋↑ＯＣ＝↑0
> を満たしている。このとき、三角形ＡＢＣは正三角形であることを証明せよ。
>
(図形的に）
BCの中点をMとすると
↑OB+↑OC=2↑OM 、△OBCは2等辺三角形であるから　OM⊥BC
仮定により　↑OB+↑OC=↑AO=2↑OM
A,O,Mは１直線上にあり、AM⊥BC よって　△ABCは2等辺三角形
∴　AB=AC
同様に、BA=BC
△ABCは正三角形。

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