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■11238 / inTopicNo.1) 　3次方程式
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□投稿者/ bigriver 一般人(12回)-(2006/04/22(Sat) 17:18:57)
    ｘの三次方程式
    x^3+ax^2+(a^2-6)x+b=0
    が、相異なる三つの解を持ち、それぞれの逆数もまたこの方程式の解である。
    この方程式の解を求めよ。

    という問題です。どなたかお解りでしょうか？
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■11242 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 3次方程式
□投稿者/ X 大御所(416回)-(2006/04/22(Sat) 18:12:49)
    2006/04/22(Sat) 18:13:58 編集(投稿者)

    x^3+ax^2+(a^2-6)x+b=0 (A)
    とします。
    条件より(A)の解xの逆数もまた解ですので
    (1/x)^3+a(1/x)^2+(a^2-6)(1/x)+b=0 (B)
    x≠0 (C)
    (B)(C)より
    bx^3+(a^2-6)x^2+ax+1=0 (B)'
    ここで(B)'は(A)の異なる全ての解xについて成立しますので、(A)(B)'は等価である必要があります。
    このことから(A)(B)'の係数を比較してa,bを求めてみて下さい。
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■11243 / inTopicNo.3) 　もっとうまい方法があるかもしれません
□投稿者/ ＫＧ ファミリー(188回)-(2006/04/22(Sat) 18:22:28)
    > x^3+ax^2+(a^2-6)x+b=0

    ３つの解を α，β，γ とすると，３次方程式の解と係数の関係から，
    　　　α＋β＋γ＝−ａ　　　　　…(１)
    　　　αβ＋βγ＋γα＝ａ^2−６　…(２)
    　　　αβγ＝−ｂ　　　　　　　…(３)
    また，α，β，γ の逆数も解であるから，
    　　　(１/α)＋(１/β)＋(１/γ)＝−ａ　　　　　…(４)
    　　　１/(αβ)＋１/(βγ)＋１/(γα)＝ａ^2−６　…(５)
    　　　１/(αβγ)＝−ｂ　　　　　　　　　　　　…(６)
    (３)，(６) から，
    　　　αβγ＝１/(αβγ)
    　　　(αβγ)^2＝１
    　　　∴ αβγ＝±１

    　(Ａ) αβγ＝１ のとき　(⇒ ｂ＝−１)
    　　　　　(４) ⇒ (αβ＋βγ＋γα)/(αβγ)＝−ａ ⇒ αβ＋βγ＋γα＝−ａ
    　　　　　(５) ⇒ (α＋β＋γ)/(αβγ)＝ａ^2−６ ⇒ α＋β＋γ＝ａ^2−６
    　　　これと (１)，(２) より，
    　　　　　ａ^2−６＝−ａ
    　　　　　ａ^2＋ａ−６＝０
    　　　　　(ａ−２)(ａ＋３)＝０
    　　　　　∴ ａ＝２，−３
    　　　ａ＝２ のとき
    　　　　　ｘ^3＋２ｘ^2−２ｘ−１＝０
    　　　　　(ｘ−１)(ｘ^2＋３ｘ＋１)＝０
    　　　　　∴ ｘ＝１，(−３±√５)/２
    　　　ａ＝−３ のとき
    　　　　　ｘ^3−３ｘ^2＋３ｘ−１＝０
    　　　　　(ｘ−１)^3＝０
    　　　　　∴ ｘ＝１　← これは不適
    　(Ａ) αβγ＝−１ のとき　(⇒ ｂ＝１)
    　　　　　(４) ⇒ (αβ＋βγ＋γα)/(αβγ)＝−ａ ⇒ αβ＋βγ＋γα＝ａ
    　　　　　(５) ⇒ (α＋β＋γ)/(αβγ)＝ａ^2−６ ⇒ α＋β＋γ＝−(ａ^2−６)
    　　　これと (１)，(２) より，
    　　　　　ａ^2−６＝ａ
    　　　　　ａ^2−ａ−６＝０
    　　　　　(ａ＋２)(ａ−３)＝０
    　　　　　∴ ａ＝−２，３
    　　　ａ＝−２ のとき
    　　　　　ｘ^3−２ｘ^2−２ｘ＋１＝０
    　　　　　(ｘ＋１)(ｘ^2−３ｘ＋１)＝０
    　　　　　∴ ｘ＝−１，(３±√５)/２
    　　　ａ＝３ のとき
    　　　　　ｘ^3＋３ｘ^2＋３ｘ＋１＝０
    　　　　　(ｘ＋１)^3＝０
    　　　　　∴ ｘ＝−１　← これは不適

    故に，
    　　　ｘ＝１，(−３±√５)/２　または　ｘ＝−１，(３±√５)/２
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■11244 / inTopicNo.4) 　 もっとうまい方法があったようですね
□投稿者/ ＫＧ ファミリー(189回)-(2006/04/22(Sat) 18:26:30)
    ａ，ｂ を見つける方法は，Ｘ さんの方がいいようですね．
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■11246 / inTopicNo.5) 　Re[3]: もっとうまい方法があったようですね
□投稿者/ bigriver 一般人(15回)-(2006/04/22(Sat) 18:50:14)
    ■No11244に返信(ＫＧさんの記事)
    > ａ，ｂ を見つける方法は，Ｘ さんの方がいいようですね．
    ありがとうございます！
    じっくり取り組んでみたいと思います。
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