数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 逆関数 / Page: 0]

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■1096 / inTopicNo.1)

　逆関数

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□投稿者/ SD 一般人(1回)-(2005/06/05(Sun) 15:50:49)

教えてください。

関数f(x)の逆関数をg(x)とする。f(1)=2, f'(1)=2, f''(1)=3 のとき
g''(2)の値を求めよ。

よろしくお願いします。

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■1117 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 逆関数

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□投稿者/ KINO 一般人(1回)-(2005/06/06(Mon) 16:33:03)

■No1096に返信(SDさんの記事)

f(1)=2 より g(2)=1 です。

g が f の逆関数であることから，g(f(x))=x.

この両辺を x で微分します。左辺に合成関数の微分公式を適用すると g'(f(x))*f'(x)=1. ---(1)

これをもう一度 x で微分します。左辺に積の微分公式と合成関数の微分公式を適用すると，g''(f(x))*{f'(x)}^2+g'(f(x))*f''(x)=0. ---(2)

(1) に x=1 を代入すると，左辺は g'(f(1))*f'(1)=g'(2)*2 となり，g'(2)=1/2.

(2) に x=1 を代入すると，
0=g''(f(1))*{f'(1)}^2+g'(f(1))*f''(1)=g''(2)*2^2+g'(2)*3=4g''(2)+3/2.

よって，g''(2)=-3/8.

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