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■1096
/ inTopicNo.1)
逆関数
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□投稿者/ SD
一般人(1回)-(2005/06/05(Sun) 15:50:49)
教えてください。
関数f(x)の逆関数をg(x)とする。f(1)=2, f'(1)=2, f''(1)=3 のとき
g''(2)の値を求めよ。
よろしくお願いします。
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■1117
/ inTopicNo.2)
Re[1]: 逆関数
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□投稿者/ KINO
一般人(1回)-(2005/06/06(Mon) 16:33:03)
■
No1096
に返信(SDさんの記事)
f(1)=2 より g(2)=1 です。
g が f の逆関数であることから,g(f(x))=x.
この両辺を x で微分します。左辺に合成関数の微分公式を適用すると g'(f(x))*f'(x)=1. ---(1)
これをもう一度 x で微分します。左辺に積の微分公式と合成関数の微分公式を適用すると,g''(f(x))*{f'(x)}^2+g'(f(x))*f''(x)=0. ---(2)
(1) に x=1 を代入すると,左辺は g'(f(1))*f'(1)=g'(2)*2 となり,g'(2)=1/2.
(2) に x=1 を代入すると,
0=g''(f(1))*{f'(1)}^2+g'(f(1))*f''(1)=g''(2)*2^2+g'(2)*3=4g''(2)+3/2.
よって,g''(2)=-3/8.
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